简单或复杂性、有序或无序性、熵等等与对称性的关系小议

abada
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如果有三个热分子A与三个冷分子B，被局限在如下形式两排三列做各种不同的排列：

图一：

AAA
BBB；

图二：

BAA
ABB；

等等共有20中排列法。其中有些排列之间的关系，只是上下排互换，如：

图三：

ABB
BAA；

就是与图二上下排互换。

还有左列与右列互换的，如：

图四：

AAB
BBA

就是与图二左右排互换的。假设空间是对称的，那么，把屏幕正看、倒看、翻背看、翻背倒看都一样的不同图案，宏观上看成“同一类”图案，总计就有6类图案。

第一类：

AAA
BBB

第二类：

AAB
ABB

第三类

AAB
BAB

第四类

AAB
BBA

第五类

ABA
ABB

第六类：

ABA
BAB

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上述排列20种排列法里，总共的这6类，每类所占的20个排列法里的比例是不一样的，其中第一类和第六类各占2种，其余的四类各占4种。也就是图案中出现第一类和第六类的概率最小，各为1/10；而其他类出现的概率较大，各为1/5。

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考察为什么有这种概率差别。答案是：第一类或第六类的图形有更大的“自我对称性”，它的图案左右互换后还是它自己。

定义：图形类别在上述所有图形排列中，所占的几率，就是这类图形的无序度。有序度是无序度的倒数。

我们已发现了有序度与自我对称性有关。所以上述第一类或第六类的图形显得如此特殊。

可以证明这个定理，即不管是什么图形，其中最具有自我对称性的类别，此类别占总自由排列总数的几率越小，也就是有序度更高、无序度更小。

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在上述六类图形中，第一类或第六类的图形显得如此特殊，这还有更多的意义。就是：

第一类图热力学熵最小，
第六类图热力学熵最大！

我们把热力学“熵”定义为：最多相邻*成排或成列*的热分子A所连续占据的最大方型面积（在三维空间就是体积）的对数。

对第一类：

AAA
BBB

三个A相邻成排占据矩形面积最大，于是熵最小。这时，若在上下两层之间放一个最大面积的直线隔板，热分子就可能比其他类图型“宏观”做功更多，即提供宏观能量。

再看其他几类，比如

第四类

AAB
BBA

至少可能使较大面积的隔板旋转，即提供宏观角动量。

而第六类：

ABA
BAB

没有A相邻成排或成列，做功的可能性最小。也就是熵最大的状态。

所以，最有序的两类排列，要么熵最小，要么熵最大。

熵与有序度，并非总一致，而是要么一致，要么相反。

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现在要解决为什么定义热力学熵时要用到“直线型”隔板。答案是：最简单的宏观物体就是直线型（欧氏几何中）。

这就要定义什么是简单性，什么是复杂性。

定义：在维数一定时，一次方程最简单，幂越高的方程越复杂。复杂度与方程次数成正比。

在维数不同时，一元方程最简单，元数越多的方程越复杂。复杂度与方程维数成正比。

在维数和元数都不同时，如何比较简单、复杂，仍然是个问题。

对于非初等函数，超越函数，如果能用逼近它的初等函数级数表示其足够的精确度，那么，所到精确度的幂就相当于复杂度。
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