1、如果在地面惯性系下，不引入“惯性力”，则有：
径向：Fn= m(ρ''-ρww)
横向：Ft= m(ρ'w+ρw')

因为在：
径向：有实际的绳子拉力(-mρww)存在：(-mρww)≠0，
横向：则没有实际的“实绳力”【mρ'w】存在，【mρ'w】=0，
式中的第一项m(ρ'w)实际起到了“虚绳”的作用，
是它提供了一个“虚绳力”m(ρ'w)，

2、如果在旋转的“非惯性系”中，引入“惯性力”的概念，
则：
径向：Fn= mρ''，
横向：Ft= m(ρw')
此时可以不考虑那两对互相平衡的惯性力和绳力，
即：在横向可以不考虑径向速度Vn产生的影响，
如同此时不必在径向考虑横向速度Vt产生的影响一样，

3、当外加作用力与“惯性力”方向相同时：
径向：Fn= mρ'' + mρww，
横向：Ft= -m(2ρ'w+ρw')

4、当外加作用力为零时，只剩下惯性力：
径向：Fn= mρww，
横向：Ft= -mρ'w，
此时小球就要在径向产生离心加速运动，Vn的大小会变化，
而在横向的加速运动不会影响横向速度的大小|Vt|，

5、放松绳子的情况比较特殊： 径向：Fn= T-mρww≠0，且mρww＞T， 横向：Ft= -mρ'w， 以后再分析了，现在只分析有径向外力fn存在的情况， 比如收紧绳子或星系爆发时产生外推力的情况，

分析如下：
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以下是书中给出的基本分析：
极坐标下的基本变换规则：
径向分量：X*i，
横向分量：X*j，（圆切向分量）
di/dt=w*j，
dj/dt= -w*i
质点位矢：r=ρi，
v=dr/dt= d(ρi)/dt=ρ'i+ρi'=  (ρ')i + (ρw)j
a=dv/dt= d(ρ'i + ρwj)/dt
=(ρ'i)' + (ρwj)'
=(ρ''i + ρ'i') + [ρ'(wj) +ρ(wj)']
=(ρ''i + ρ'i') + [ρ'(wj) +ρ(w'j + wj')]
=(ρ''i) + 【ρ'i'】 + (ρ'wj) + (ρw'j) + 【ρwj'】
=(ρ''i) + 【ρ'wj】 + (ρ'wj) + (ρw'j) + 【-ρwwi】
=[(ρ'')-【ρww】]i  +  [【ρ'w】+(ρ'w)+(ρw')]j

所以：
Vn=(ρ')i，
Vt=(ρw')j
Vn'=(ρ''i) +【ρ'wj】
Vt'= -【ρww】i + [(ρ'w)+(ρw')]j
|Vn|'= (ρ')'= ρ''，
|Vt|'= (ρw')'= (ρ'w)+(ρw')，
an=[(ρ'')-【ρw'w'】]i
at=[【ρ'w】+(ρ'w)+(ρw')]j

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我的进一步分析：
其中的【-ρw'w'】i 和【ρ'w】j是与“惯性加速度”相平衡的实际加速度，
比如m【-ρw'w'】i 就是绳子中的实际向心力，
但是并没有绳子产生的实际力：m【ρ'w】j，
即：
实际上没有一个与“惯性力”m(-ρ'w)j相平衡的“实绳力”m【ρ'w】j，

那么在旋转的“非惯性系”中，引入“惯性力”后就有：
径向：
Fn= m[(ρ'')-【ρw'w'】+ρw'w']= mρ''，
横向：
Ft= m[【ρ'w】+(ρ'w)+(ρw')-ρ'w]
=m[0 +(ρ'w)+(ρw')-ρ'w]
=m(ρw')

由实际的横向力Ft=0得：
Ft= m(ρw')= 0，
即：ρw'= 0，
即：ρw'= э(ρw)/эw= э(Vt)/эw= 0，
即：Vt=C常数，

=============================================
注意：
1、这里是把ρ作为常数看待的，
才有：ρw'= э(ρw)/эw，
因为在(ρw)'= (ρ'w)+(ρw')中，
实际是运用“全导数公式”：
f(x,y)=эf/эx + эf/эy，
即：
d(ρw)/dt= э(ρw)/э(ρ) + э(ρw)/э(w)，
由偏导数的定义：
эf/эx = lim[f(x+Δ,y)-f(x,y)]/Δx，
эf/эy = lim[f(x,y+Δy)-f(x,y)]/Δy，
可知：“只对所论变量求导，另一变量看成常数”，
所以在(ρw)'= (ρ'w)+(ρw')中，
第二项ρw'中的ρ可以看成是常数，
才有：ρw'= э(ρw)/эw成立，
由于实际的ρ≠0，w'≠0，
所以只有ρw=C常数，才可能有：э(ρw)/эw=0，

2、当外加作用力与“惯性力”方向相反时，
横向加速度的一部分(ρ'w)提供了一个“虚绳力”，
即前面说的：
如果不引入“惯性力”，则有：
径向：Fn= m(ρ''-ρww)
横向：Ft= m(ρ'w+ρw')
因为在：
径向：有实际的绳子拉力(-mρww)存在：(-mρww)≠0，
横向：则没有实际的“实绳力”【mρ'w】存在，【mρ'w】=0，
式中的第一项(ρ'w)实际起到了“虚绳”的作用，
是它提供了一个“虚绳力”(ρ'w)，

3、当外加作用力为零时，只剩下惯性力：
径向：Fn= mρww，
横向：Ft= -mρ'w，
此时小球就要在径向产生离心加速运动，Vn的大小会变化，
而在横向的加速运动不会影响横向速度的大小|Vt|，

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这意思是说：
圆周运动的“惯性离心力”(mρw'w')有绳子中的m【-ρw'w'】向心力来平衡，
可是“惯性横向力”(-mρ'w)却没有绳子产生的m【ρ'w】反横向力来平衡，
于是小球在横向只受到一个“惯性力”(-mρ'w)的作用：
Ft=(mρ'w)
这个“惯性力”Ft=(-mρ'w)产生的横向加速度是：
Ft=(mρ'w)=m*Vt'
即：
m(ρw)'= m[(ρ'w)+(ρw')]，
上式成立的条件是：ρw'=0，
所以“惯性力”(-mρ'w)只能与m*Vt'的一部分m(ρ'w)相平衡，
而这一部分m(ρ'w)对横向速度的模|Vt|没有任何影响，
它是用来改变径向速度Vn方向的，所以最后在引入“惯性力”后得到：
径向：Fn= mρ''，
横向：Ft= m(ρw')
即此时可以不考虑那两对互相平衡的惯性力和绳力，

由此还可知：
当外加横向力Ft与“惯性力”(-mρ'w)方向相反时，
在横向可以不考虑径向速度Vn产生的影响，
如同此时不必在径向考虑横向速度Vt产生的影响一样，

而“小球-绳”模型主要是考虑如下情况：
当外加横向作用力ft=0时，只剩下横向惯性力：
横向：Ft= -mρ'w，
而它不会影响横向速度的大小|Vt|，
如前面分析论证的|Vt|=C常数，

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如果在地面惯性系下，不引入“惯性力”，则有：
径向：Fn= m(ρ''-ρww)
横向：Ft= m(ρ'w+ρw')

因为在：
径向：有实际的绳子拉力(-mρww)存在：(-mρww)≠0，
横向：则没有实际的“实绳力”【mρ'w】存在，【mρ'w】=0，
式中的第一项(ρ'w)实际起到了“虚绳”的作用，
是它提供了一个“虚绳力”(ρ'w)，

由Ft=0可得：
ρ'w + ρw'=0，
即：ρ'w = -ρw'，
这同样是线动量守恒|Vt|=C常数所满足的条件，
证明以给出过了，不再重复，可以到“质疑：角动量守恒”论坛查看：
http://yanghx22.bbs.xilu.com