规范理论与基本相互作用

（全国高校第十二届《电动力学》研讨会 (2009年8月23-27日, 福建泉州)，节选）

沈建其（杭州 浙江大学）

     麦克斯韦电磁理论不但为人类改造自然与文明进步做出了巨大贡献，具有很大实用意义，而且该理论本身就是一件艺术珍品，其形式非常优美，我们可以从多角度(如代数、几何、拓扑等)来欣赏其数学艺术价值。作为人类历史上第一个相对论性理论，亦可以说是第一个量子理论(一次量子化理论)的麦克斯韦电磁理论，其理论形式在相对论和量子论中完全被保留了下来，却比相对论与量子力学的建立几乎早了半个世纪。事实也证明，麦克斯韦电磁理论是建立新理论的典范。光子虽然复杂，但其却很乐意尽可能表现其各种丰富的特性，成为我们窥探自然的一个最好不过的窗口。20世纪初期通过对光与电磁波的探索(如光速不变原理、光的波粒二象性等)，毫无疑问电磁理论引导了二十世纪近代物理学两大支柱(相对论和量子力学)的创建，它对统一自然界其余基本相互作用提供了富有启发性意义的借鉴作用。除了电磁力外，自然界还有三种基本力(即控制天体运动与宇宙演化的引力相互作用、控制质子中子结构形成的强相互作用和控制中子等粒子衰变的弱相互作用)。如何描述这些相互作用，它们之间是否有被统一解释的可能，麦克斯韦电磁理论给我们探究与回答这些问题提供了富有借鉴意义的线索。从1910年代魏尔企图统一引力与电磁力而提出标度变换开始，到1920年代量子力学诞生，人们终于知道了麦克斯韦电磁理论是一个规范理论(相位变换理论)，电磁场是阿贝尔规范场，它具有U(1)群(一种可交换的内部对称群)的定域规范对称性。1950年代为了建立一个有关强相互作用的理论(继承海森堡思想，把质子、中子看作是同一种粒子，也就是看作同位旋二重态的两个分量。这里同位旋好比是一个电荷)，杨振宁和米尔斯引入了非阿贝尔规范场，把电磁理论的定域规范不变的理论推广到内部对称的不可交换群(SU(2)群)。之后，杨-米尔斯(Yang-Mills)非阿贝尔规范场理论成为了描述强、弱相互作用的基本理论，如1960-1970年代格拉肖、温伯格、萨拉姆等很多人一起建立了包括强、弱相互作用和电磁相互作用的统一理论(包括1974年之后建立的风光一时的SU(5)等大统一理论甚至将超对称引入进去之后的超大统一理论。大统一理论形式是漂亮的，尽管不那么成功或存在一些问题，但给大家留下了不可磨灭的强烈印象)。与此同时，爱因斯坦的广义相对论(将引力描述为时空弯曲)也被证明可以被改造成非阿贝尔规范理论(定域Lorentz群规范对称理论，以自旋联络作为仿射联络)。由此，也许自然界四种基本力可以在规范理论思想框架下最终被统一成一种基本相互作用。在规范理论研究过程中，我们需要多次参考借鉴电磁理论(U(1)群规范场论)的丰富多彩的数学结构及其所内含的各种有趣的群论性质、微分几何与拓扑结构等。总之，电磁相互作用是探索一切基本相互作用的思想源泉与起点。

      根据量子电动力学，真空是场的基态，但真空不空，具有丰富的物质结构，表现了很多真空效应(如真空零点涨落能、Casimir效应、真空极化、电子反常磁矩、真空模式结构改变对激发态原子寿命的影响等)。这里主要提及近乎发散的真空零点能与平直的时空之间的矛盾问题。我们知道电磁真空的零点涨落能是E=hv/2，但这只是某个频率为v的真空模式的零点能。如果对所有频率的真空模式（包括左、右偏振分量）的零点能进行相空间积分因而求真空零点能密度，发现这是一个无穷大的数值。但一般我们相信，能量的积分上限应该为普朗克能量标度，非常巨大，为1（后跟19个0）GeV，也即差不多是1（后跟19个0）倍的质子质量(可以用普朗克常数、光速和引力常数表示)。这里三个特征参数（普朗克常数、光速和引力常数）都出现了，体现了量子论、相对论与引力论在此能量标度下的矛盾斗争与对立统一。即使将能量上限截断，这样计算出来的真空零点能密度还是非常巨大：如果折合成宇宙常数或者折合成质量密度大约是1（后跟95个0）千克每立方米，是目前宇宙平均密度（大约每立方米一个氢原子）的1 (后跟122个0) 倍。这个倍数与另两个极端尺度比值也有密切关系：物质世界最大的尺度是宇宙特征尺度，约是1(后跟26个0)米，最小的尺度是普朗克尺度，大约是0.(跟34个0)1米。它们的比值的平方即为1(后跟122个0)。真空能量密度与宇宙常数似乎涉及到两个极端尺度之间的某种联系(这是因为当前的宇宙平均密度与宇宙半径有联系，这个问题可能与马赫原理及人择原理也有关系，值得深究)。这里存在一个很严重甚至令人尴尬的问题：根据爱因斯坦引力理论，质量与能量导致时空弯曲，但为何如此近乎发散的真空能量似乎不产生任何时空弯曲效应（否则由于巨大的引力梯度的影响，任何粒子包括原子核、质子、中子都将被撕得粉碎）? 有人建议也许存在一个裸宇宙常数(为负)，它与由真空零点能所产生的宇宙常数(为正) 抵消掉了。但这里存在一个匪夷所思的疑惑：为何裸宇宙常数与真空能宇宙常数恰好大小相等符号相反？正常情况下，即使有所抵消，但不会抵消干净，因为裸宇宙常数与真空能宇宙常数具有不同的物理根源。的确，近年来的观察宇宙学有很多证据表明，我们的宇宙在加速膨胀，这个膨胀的来源可能是一个与宇宙平均密度很接近的宇宙常数。那么这个非零但很小的实际宇宙常数可能是裸宇宙常数与由真空零点能所产生的宇宙常数经过抵消之后的"残余宇宙常数"。但这样一来，更奇怪的问题出来了：裸宇宙常数(为负)与由真空零点能所产生的宇宙常数（为正）其大小都大约是"残余宇宙常数"的1(后跟122个0)倍。两个都是如此巨大的数字，如何保证它们的前121位有效数字能精确抵消到零？无论如何这实在是过于匪夷所思了。所以裸宇宙常数思想不可靠。但为何近乎发散的真空零点涨落能量无引力效应，为何实际宇宙常数接近于宇宙平均密度？这些问题发人深思。

     与此同时，关于爱因斯坦引力理论，也存在若干令人需要进一步思考的问题：爱因斯坦引力场方程不具有杨-米尔斯规范理论形式，且还带有一颗"瘤子"，即有量纲的引力常数G (一个基本的理论最好不应该带有量纲的耦合系数)。此外，爱因斯坦引力理论将度规作为动力学变量，但其联络却是Levi-Civita联络；而在杨-米尔斯规范理论(包括电磁理论)中，基本动力学变量与联络是同一个量(如在电磁理论中，这个变量与联络都是四维电磁势)。因此，在引力的规范理论中，需要将爱因斯坦引力理论改造成杨-米尔斯规范理论形式，让基本动力学变量与联络是同一个量。这个量可能是自旋仿射联络(也有称呼为Lorentz联络或vierbein联络的)。在这个框架下，不少研究者已经证明，爱因斯坦引力场方程可以转化为Yang-Mills场方程，但是有量纲的引力常数 仍旧包含在内，还是不够令人满意。我们认为引力的杨-米尔斯场方程背后一定还隐藏着一个更基本的引力理论，该基本理论不含有量纲的引力常数G。引力常数很小且量纲为 ，这可能与一种很重的中介粒子的低能传播子有关。我们在该思想指导下，建立了一个新的引力规范理论，引入了一种质量接近普朗克质量的重中介耦合粒子，由它传递了自旋联络规范粒子与物质场的耦合。该理论在低能近似下，可以得到爱因斯坦引力场方程，也即，爱因斯坦引力理论是该引力规范理论的一个低能唯象理论。由于该理论对于度规而言，是一个三阶微分方程，所以爱因斯坦引力场方程实际上是该理论中低能场方程的一个首次积分。

     以上引力规范理论提供给我们一个重新看待真空能与宇宙常数之谜的新路子。由于该引力理论中的场方程对于度规而言，是三阶微分方程，所以由真空能提供的宇宙常数项在该方程中是以协变导数的身份出现的，而宇宙常数项的协变导数为零，也就是说，由真空能导致的能量-动量张量实际上最终没有机会出现在引力场方程之中。自然，近乎发散的真空量子涨落能量不会产生严重的时空弯曲效应。此外，上面已经说过，爱因斯坦场方程是该理论中的一个首次积分。在得到首次积分的过程中，我们还可以得到一个积分常数项，它起着一种等效宇宙常数的作用，自动添加在爱因斯坦场方程之中。所以我们认为，实际观察到的促使宇宙加速膨胀的宇宙常数项的来源其实是一个积分常数项(它并不直接对应于任何物质的能-动张量)，其数值由具体引力问题的物理条件(如边界条件、初始条件等)决定。

     总之，以上引力规范理论可能可以解答巨大的真空能的引力问题（为何巨大的真空能密度无引力效应），也可能可以重新说明观察到的宇宙常数的物理来源(包括解释其大小为何会与目前宇宙平均密度相关，其中原因可能是因这是一个边界值或初始值问题)。当然，这个方案还有不少问题亟待研究。(2009-7)

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