一点讨论：康托‘完全集'与‘补集'

一位网友关于康托集的观点别出心裁，未经许可如下：   

-------　　网友的博文　----------

著名的康托尔完全集是这样构成的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1]，如此继续下去直至无穷，那么最终剩下的集合的测度可用下式计算：

1-（1/3+2/9+4/27+......）=1-（1/3）/（1-2/3）=0

康托尔由此得出，剩下的集合是测度为0的连续基数集，这就是康托尔完全集。

－[转者注：上面的为流行观点，下面的为该网友的问题]－

同样给出[0,1],把它三等分,假使我们第一次删去[0,1/3),(2/3,1]剩下[1/3,2/3],第二次删去[1/3,4/9),(5/9,2/3]剩下[4/9,5/9],如此继续下去直至无穷,那么剩下的区间连同[0,1]构成一个区间套序列,根据区间套原理有且仅有一点包含于区间套序列中,在这个"不断删去"的过程中，中间的子集收缩成一点。

回过头再来考察康托尔完全集，可发现位于区间两头的子集也发生同样的收缩而成为一点，其他子集均匀分布于[0,1]中[第一次删去的(1/3,2/3)较大],所以他们也同样收缩成一点,这样的话,最终剩下的康托尔完全集就是一个离散的连续基数集（基数等于2^N,用三进制编码，与实数等势）。要构造康托尔完全集也可取五等分、七等分......由此得到的集合的基数是2^N和6^N,只不过五等分,七等分导致的收敛较快:

五等分 1-(1/5+4/25+16/125+......）=1-（1/5）/（1-4/5）=0

七等分 1-（1/7+6/49+36/343+......）=1-（1/7）/（1-6/7）=0

问：数列的什么特征导致可数或不可数？测度为零的连续势集的充要条件是什么？

---[我在该网友的博客里的回复]－--

1＞　　　　

　　学《分形几何》时，第一个例子就是康托集，留下了极深刻的冲击印象：长度为0，点数无穷多，维数为D＝ln2/ln3=0.6309。

　　--此外，Koch曲线的分数维D= ln 4 /ln 3＝1.2618，Sierpinski垫的维数D= ln 3/ ln 2＝1.58506；Koch　4面体分数维D= ln 7/ ln 2=2.8074；进一步向4维、5维、更高维发展，若，在4维Sierpinski中心挖空操作则其分数维是D= ln 80 /ln 3= 3.9887；......

2＞

　　分维的引进是人类的空间观的一次革命性的变化，由于分数维的引进，点和线、线和面、面和体、三维体和四维时空之间的绝对界限模糊了：线既可由于分割而（维数）退化，也可由于弯曲而（维数）进化；面由于挖空而（维数）退化......

　　--在这一点意义上线弯曲向面挺进，面挖空向线靠拢......。它们的复杂性都比整数维几何大。

3＞

　　私以为：牛顿时空观、爱因斯坦时空观都基于欧几里得的空间观，分维空间观的出现，必将为人类的时空观带来更为深刻的革命，这一革命目前仍然只是在逐步深化的阶段，仍有许多革命性的规律在等待人类去挖掘，比如，空间可以是分形的，那么时间可能也是，这样，时空观就会更全面地分形化，也更贴近真实的世界，所以，我常常感叹：

　　分形来到人间，科学从理想的天国走向真实的宇宙。

　　在拙文《四维最大对称宇宙的涨落》里对此仅点了一下，因过于复杂而未展开。

　　--也就是说，我们要在几乎是完美的‘四维最大对称宇观'的这一‘零阶近似'下，看到、理解和允许由于涨落而引起的宇宙物质的‘分形分布'、‘分形演化'，--这不是两个极端，而是要更全面地看宇宙。

4＞

　　博主所谈，从几何图像上看，似是康托集的‘补集'（当然不是严格的‘补集'），我是否可以把它理解成分形的‘影子'或‘空穴'？即，是分形几何中从整维图像中所去掉的‘边角料'。

　　总之，博主似乎是在对分形空其道而虑之，是另辟蹊径，那么，是否可以把博主这一思路进一步推广到Sierpinski垫、N维Sierpinski垫......？

　　--期待博主能有更全面、系统、深刻的发掘。

【另】

　　拙文《四维最大对称宇宙的涨落演化》所描述的爱因斯坦场方程的‘推导'过程，实是基于温伯格的‘标准描述'，其它一些深度足够的广相著作对这一过程也都有类似的描述。

--极为意外的是，拙文的这一描述受到二位博主的嘲弄甚至是谩骂，可否告知二位所学的爱因斯坦场方程的‘推导'过程是怎么样的？

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博主不妨把上述回复当作疯话，不过，请博主一定认真考虑一下第4条：‘......是否可以把博主这一思路进一步推广到Sierpinski垫、N维Sierpinski垫......？--期待博主能有更全面、系统、深刻的发掘。'