【说明】　初次写下这个‘荒唐'的标题是在大一；即便荒唐还是认真地把它写了下来；因为，这簇荒唐的公式在精度、广度和物理的综合方面要优于传统提丢斯－波得公式及其变种。

下面是提丢斯－波得的经验公式的推算。

行星-----数列----推算出的距离-----实际的距离

水星 　    0       　　0.4           0.387

金星　   　3  　　   　0.7          0.723

地球　   　6 　　　　　1.0           1.000

火星      12           1.6           1.524

小行星带  24           2.8         1.7到4.0（中点＝2.85）

木星     48           5.2         5.203

土星      96          10.0          9.554

天王星   192          19.6          19.2

海王星   384          38.8          30.2

冥王星   768          77.2         39.553

我所拟合的公式是根据一个‘量子假设'，而且公式的适用范围明显广于传统公式。

后来，学了更多，信了更多，疑了更多；从彼到今，有时觉得这簇公式很无聊，有时又隐隐约约觉得它们透露出一些信息。

数学家Kronecker在1886年说：‘上帝造整数，其它的是人造的'，我们不能期望对自然数列的认识可以化归到本质上比它更原始的东西上去，--也许这数学名言有着深刻的哲理。

有时不妨说，‘量子'的数学本质是整数，而它的物理意义则是离散，比如能级，比如相变，比如驻波，比如夸克，无须刻意去区分其尺度。

随着研究的深入，在宏观尺度也发现了很多‘量子现象'--确切地说是‘整数现象'或‘离散现象'，比如--

水星的自转周期与它绕日公转的周期之比为2：3

土星的卡西尼缝与土卫一公转周期之比为1：2

火星和木星间的小行星带的Kirkwood缝的周期与木星公转周期的比为1:2、1:3、1:4......

--这些可能是因引潮力产生的两个自由度之间的耦合，可能是......

今天，太阳系的演化还有很多不解之谜，那么下面的经验公式是不是反映一些问题呢？混沌、负热容、湍流、引力辐射等，似乎和它靠些谱，又似乎那么遥远。

下文是我在大一时写的，简单幼稚，但也许真的蒙上了一点东西。

欢迎批评。

----------------《天体轨道的量子公式》----------------

• 一、 假设

二十世纪初玻尔等提出的空间量子化(轨道量子化)理论，在物理界引起了一场深刻的革命，从此人们认为在微观和宏观之间有着不可逾越的鸿沟。实际上，如果我们引入了时间量子化概念，便会发现微观和宏观之间有着深刻的、奇妙的联系。

难以想像在数学形式完全一样的引力场中运动的物体怎么会有迥异的轨道性质，让我们作个一般假设：在引力场

　　　　　　　　V_1/r=－P/r     (P为和系统有关的常数)

作用下，在其中作轨道运动的物体当其轨道满足下式时，或者更确切地说当其轨道在下式所规定的附近时，其轨道的稳定性有一小而尖的峰值：

     a_n=n²a₀ ,(n=1,2,3......),        　　　　　　　　        (1)

T_n=n³T₀  , (n=1,2,3......),         　　　　　　　　       (2)

其中a₀、T₀为和系统有关的常数，a_n、T_n为第n号轨道的半长径、周期。

当V_1/r是由类氢原子核产生的库仑场时，上式和玻尔的第一、二假设是相当的，可以互相推出，在此就不必验证了。

当V_1/r是由中心天体产生的牛顿场时，笔者发现可由下式确定a₀、T₀：

a₀ = k₁M ^C1    ，          　　　　　　            (3)

T₀ = k₂M ^C2    ，             　　　　　         (4)

其中M 为中心天体的质量，常数

c₁ =0.7100±0.0010 ，k₁ =1.978×10^{-12     .}

c₂ =0.5650±0.0015 ，k₂ =2.141×10^-12  。

• 二、 验证

• 1、 恒星-行星系统

由表1可看出式(1)的结果要比玻得定则的好，然而不如其变种贝拉格和里查逊公式，但它们都硬性规定系数，形式繁杂，物理意义不明显，近乎数学游戏。

还有与玻得定则及其变种不同的是，式(1)所取的n值不连续。这是缺憾吗？显然我们该想到彗星和小行星的轨道，它们也满足式(1)成立的先提条件。

表2中有多个彗星占据一个轨道号的情况，这就是常说的轨道带，--是否对应量子力学的‘能级简并'？

• 2、 行星-卫星系统

表3、4给出了木卫系统和天卫系统的验证。

读者可能已经发现，轨道带卫星的偏心率明显地比单独占有一个轨道的卫星的大；而在太阳系内偏心率大的天体一般也是轨道带天体。多么奇妙的相似!显然有其内在联系。

• 3、 星系团系统

如果伴星系的确是绕中心星系作轨道运动的，那么表5、6所给出的结果的确令人振奋。其中a₀值由观测值拟合得到，M值则由式(3)反推得到。