趣谈素数

所有的正整数（1、2、3 ......）又叫自然数，它是一个庞大的家族。它的成员个数是一级无穷多。

所有的正整数按照它能否被2整除可分为奇数和偶数。凡能够被2整除的整数叫做偶数，如2、4、6 ...... ；凡不能被2整除的整数叫做奇数，如1、3、5 ...... 。奇数和偶数各占一半。

所有的正整数按照它能否被其它整数整除又可分为素数和合数。其中能够被其它整数（1除外）整除的整数叫做合数，如4、6、8、9 ...... ；而不能被其它整数整除、只能被1和自身整除的整数则叫做素数，又叫质数。如1、2、3、5、7 ...... 。其中1是最小的奇素数；2是最小的偶素数。

在所有的正整数中，绝大多数是合数，只有少量的是素数。在数轴上，素数点是零散分布的。如果用所有的合数排成一堵墙，那么素数就象上面稀稀拉拉的缺口。

所有的偶数可以用所有的奇数乘以2而得到。那么所有的奇数能否用奇数相乘的办法全部得到呢？当然不能！因为所有奇数相乘的结果并不能遍历所有的奇数，漏洞总是存在的。总有一部分奇数，用其它奇数怎么乘也得不出来。这部分奇数就是素数。

可见，所有的偶数都是合数；而在奇数中，则是绝大多数为合数，只有少量的是素数。

而素数相加的构成能力则很强。按照哥德巴赫猜想，任何一个不小于6的偶数都可以表示成两奇素数之和。任何一个不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和。至于小于6的偶数则情况比较特殊。如：

4 = 1 + 3 = 2 + 2   

2 = 1 + 1

含有1 ，有许多学者认为1不能算素数；另还含有偶素数2 。所以真正最小的奇素数应该是3 。这样以来，可分解为两奇素数之和的最小偶数只能是6 ，可分解为三个奇素数之和的最小奇数只能是9 .

随着数字的增大，素数在数轴上的分布是越来越稀。虽然它的出现没有严格的规律可循，但却有确定的统计规律。最近笔者在前人的基础上，推出一个最为接近的分布密度公式：

η =（1-1/sqrt(2t)）/ln(t)

利用这个公式我们可以算出一段区间内素数的个数。公式为

n =∫ηdt = ∫[（1-1/sqrt(2t)）/ln(t)] dt

t的积分区间是 2 ~ x

设  t = exp(u)   将之代入并积分我们可以算出u从ln2 lnx之内的素数个数。如当x 等于1千兆时，我们可算得其内所拥有的素数个数是50847430 ，仅比准确数少104个。误差为 -0.0002045% .

密度公式的用途很多。利用这个公式，我们还能算出后继素数的距离为

1/η = ln(t)/（1-1/sqrt(2t)）

从而得出后继素数的推算公式为

    P_i+1 = P_i + ln(P_i)/[1-1/sqrt(2P_i)]        其中 P₁ = 2

= P₁ + ∑ln(P_i)/[1-1/sqrt(2P_i)]      i = 1 ～ n

当然后继素数的真实值只能是在其左右。如下所示.

计算值  2 3 5 8 11 14 17 20 24 27 31 35 39 43 48 52 56 61 65 70 74 79

真实值  2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 69 61 67 71 73 79

关于哥德巴赫猜想迄今为止还没有严格的证明，但我们可以根据它发生的概率推算出它可能成立的组数。这也从一定程度上证明了该猜想的成立。积分公式如下.

n =∫η₁η₂ dt

=∫[（1-1/sqrt(2t)）（1-1/sqrt(4x - 2t)）/ ln(t)ln(2x-t)]dt

t的积分区间是 2 ～ x

如当2x = 200时 可以算得 n = 4.6组   实际上为8组.

新华网论坛上的斯露化雨先生曾给我一个很大的偶数：

2x = 321654789546228，他叫我求出这个偶数可表为两个素数之和的组数。

我设  t = exp(u) 

这样u的积分区间就成了从ln2到 ln(321654789546228/2)

将之代入并积分可求得符合要求的素数组数为153415000000 ；而斯露化雨则算得"可表为两个素数之和的个数是853206600000，其精度在0.999以上"。悬殊很大，但不知我们俩到底谁错了！

利用素数密度公式，我们还能推算"孪生素数"的组数。公式为

n =∫[（1-1/sqrt(2t)）（1-1/sqrt(2t+4)）/ ln(t)ln(t+2)]dt

t的积分区间是 2 ～ x

如当x = 200 时  可算得  n = 9.6对  实际上为 15对.

设  t = exp(u) 

这样u的积分区间就成了从ln2到 lnx

将之代入并积分可求得从ln2到ln(321654789546228) 范围内"孪生素数"的对数为307288000000 ；而斯露化雨则算得"孪生素数的对数约为403576400000个"。不知他究竟是怎么算的！

对于一个没有规律、我们力不能及的问题，从另外一个角度窥探一番倒也是别有洞天。感觉非常有趣、有效。