浙大学者对一简单杠杆问题的正确解答

杠杆问题：垂直于地面有匀强电场，有一水平杠杆（支点在中间），某时刻从支点向两边同时抛射两个一摸一样的小球（A、B球），速度相同，沿杠杆表面运动，杠杆仍旧平衡。现在有一个运动参考系，运动方向与杠杆水平方向一致。这问题是想看看相对论是否自洽，所以实际上是要我们证明在任一惯性糸球同时下跌并杠杆一直平衡。 其实这问题并不复杂，一个纯狭义相对论的问题。解决相对论的问题最好的办法是先求出它的不变量，这问题亦不例外。现先说明杠杆一直平衡，这只需证明在任一惯性糸的某一时刻两边球质量与球所走距离的乘积相等就行了。至于同时性的问题，我们知道在一个与杠杆相对静止的惯性糸可测得A、B球走到终点的时刻它们所走的距离与所需的时间是一样的，那么就可得到在任一惯性糸A、B球走到终点所需的时间亦是一样的，也就是说A、B球是同时走到终点的，这里要注意的是A、B球走到终点这两事件是不同速度下的两事件。  下面是他前后两次解答： “这个问题的实质在于要考虑引力场强的Lorentz变换。下面的计算证明，在运动参考系看来，质量要变的，引力场强也是要变的，但两者的乘积却不变。所以杠杆仍旧平衡。 设在杠杆看来，两个朝相反方向运动的小球的速度（方向为x）分别为u,－u. 一个运动参考系与杠杆的相对速度为v，方向与小球速度平衡。则可以计算得到在运动参考系看来，两个小球的质量分别为m0(1+uv/cc)/[sqrt(1-vv/cc)*sqrt(1-uu/cc)], m0(1-uv/cc)/[sqrt(1-vv/cc)*sqrt(1-uu/cc)]. 下面研究引力场的Lorentz变换： 在本例中，在杠杆看来，只有沿y方向的重力场；但在运动参考系看来，除了这个重力场大小要变以外，还有一个引力磁场要产生。设在杠杆看来沿y方向的重力场强为g，那么由Lorentz变换得到运动参考系中的的重力场强和引力磁场为 E_y＝kg, B_z=—kv/cc*g， 其中E_y表沿y方向的引力场强，B_z表沿z方向的引力磁场强，k=1/ sqrt(1-vv/cc). 这里的公式可以参考郭硕鸿第二版电动力学p.271公式。 在运动参考系看来小球还要受到一个引力Lorentz力m[(u+v)/(1+uv/cc)] B_z, 它叠加在重力上。 E_y＋[(u+v)/(1+uv/cc)] B_z＝kg(1-vv/cc)/(1+uv/cc), 乘上质量m=m0/sqrt(1-ww/cc), 其中w=(u+v)/(1+uv/cc). m= m0/sqrt(1-ww/cc)= m0(1+uv/cc)/[sqrt(1-vv/cc)*sqrt(1-uu/cc)]. 得到乘积为kg(1-vv/cc)/(1+uv/cc)* m0(1+uv/cc)/[sqrt(1-vv/cc)*sqrt(1-uu/cc)]=m0g/ sqrt(1-uu/cc),它与u无关。 以上证明了：虽然质量要变，引力场强要变，但两者的乘积（还加上引力Lorentz力）却不变。 所以杠杆不倾斜。” “设在杠杆看来，两个朝相反方向运动的小球的速度（方向为x）分别为u,－u. 一个运动参考系与杠杆的相对速度为v，方向与小球速度平衡。静系中的电场强度为E_z (沿z方向，z方向为竖直方向)，那么有Lorentz变换，动系中的电场E”_z=E_z/(1-vv/cc)^(1/2), y方向磁场为B”_y=－(v/cc) E_z/(1-vv/cc)^(1/2) (参看：南京大学书 孙景李编P.64) （注意：凡是经时空变换，总会出现磁场。对于引力，也是如此，出现引力磁场。只不过广义坐标变换下，引力磁场复杂得多。不过，对于匀强引力场，由于广义坐标变换刚好退化为Lorentz变换，所以，因此引力磁场公式刚好与上面的公式相同。所以，引力磁场不是修修补补的东西，而是相对论的基本组元之一） 带电小球电场力F=QE”_z＋Q（(u+v)/(1+uv/cc)）B”_y ＝Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc)。 受力公式有了{F= Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc)}，力臂L=[(u+v)/(1+uv/cc)－v]t＝[u(1- vv/cc)/(1+uv/cc)]t, 这样每一时间间隔dt小球加给杠杆的冲量矩dI=FLdt＝（Q E_z(1-vv/cc)^(1/2)/(1+uv/cc)）×[u(1- vv/cc)/(1+uv/cc)]t*dt，对它积分，得到I= {Q E_z×u*(1-vv/cc)^(3/2)/(1+uv/cc)^2}*(t^2)/2, t=?, t=(L/2)*(1-vv/cc)^(1/2)/ [(u+v)/(1+uv/cc)－v]= (L/2u)*( 1+uv/cc)/ (1-vv/cc)^(1/2), 这样，一个小球的总冲量矩I= Q E_z×（L^2/(8u)）×(1-vv/cc)^(1/2), 这一结果与u的符号（+u和-u）无关，所以两个小球在下落之前赋予杠杆的总冲量矩相等（方向相反，一个顺时针，一个逆时针）。既然如此，即使在动系中看来两小球不同时下落，但是杠杆仍旧平衡（因为它得到的总冲量矩为零）。总而言之，我们前几天的讨论是企图比较瞬时力矩是否相等作为杠杆是否平衡的依据，是办不到的（因为信号传递的有限性和同时的相对性等原因的存在）。我们现在能讨论的就是杠杆总冲量矩是否为零作为杠杆是否平衡的依据。” 返回首页