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用卡文迪许扭秤测万有引力切向分量（ 涡旋力）
朱永焕 摘要： 本人经长期探究，于2001年用卡文迪许扭秤测出万有引力不仅有法向分量（即牛顿提出的万有引力），而且有切向分量的存在，并得出公式。以我们地球为例，除了原有万有引力（即法向分量）之外，随着地球的自转，在其周围还有涡旋力（即切向分量）的存在，该旋涡力（即切向分量）与地球自转速度成正比关系。 该结论可能证明惯性系拖曳[frame dragging]. 关键词：用卡文迪许扭秤 旋涡力 1986 年，牛顿发表了著名的万有引力定律，他用微积分的方法证明了任何均匀球体所受的引力或均匀球体作用的引力与球的全部质量集中在球心时的情况相同，即 F =GMm /r^2......① 若要求出两物体之间的引力大小，仅知道两物体的质量 M •m 和它们的距离 r（质心间的），还是不够的，必须知道万有引力恒星 G 的数值。可由于 G 的数值非常微小，更精密地直接测定 G 的数值是很困难的。一百多年之后，1798 年，英国科学家卡文迪许（Henry Cavendish）运用构思巧妙的精密“ 扭秤”实验技巧测定出万有引力常数 G。卡文迪许一生从事大量的化学、电学实验，不知疲倦地埋头于实验研究工作达 50 年之久。大约在库仑确定著名的静电学基本定律———库仑定律的同时，他独自发现并测定电荷间的作用力跟距离平方成反比的规律，还独立提出了电势的概念，他测出引力常数 G 的时候，已有 67 岁高龄，他被公认为是最伟大的实验科学家之一，开创了测量弱力的新时代，卡文迪许扭秤直到现在仍是机械测量方面最精密的仪器之一。著名的英国剑桥大学（ Cambridge University）设有卡文迪许实验室（ Cavendish Lab），这是一间举世闻名的物理实验室，许多物理大师诸如汤姆逊（ Thomson）、卢瑟夫（E•Rutherford）等都曾任该室主任。 从卡文迪许开始以后，人们对 G 值作了一次又一次的测算，所得的结果也一次比一次更准确。1928 年，美国标准局的物理学家海尔（ P•R•Heyl）所测出的 G 值是 6.673*10^-11牛顿•米^2/公斤^2。我们应该注意到，这个数值是极微小的，它是度量弱引力的标准。两个相距一米远的一公斤砝码，彼此间只以二百亿分之一克的力相互吸引。地球甚至在距地心 6400 公里远的地方，也能以一公斤的力吸引这样一个事实，十分有力地向我们说明地球的质量是多么大。我们正是用卡文迪许扭秤最先给地球“过秤”的。利用如此精密的扭秤称出地球这个行星的质量，真是不可思议。 如图 6 -1 所示，所用卡文迪许扭秤，设在一个特殊结构的小室内，人在室外进行操纵和观测记录。中间是镀银的细铜丝，丝上悬挂着一根轻质细棒，悬挂点在棒中央，棒两端系住质量相等的小铅球 m1和 m2，再把两只质量相等的大铅球 M1和 M2，分放在 m1的前方和 m2的后方。这时m1和 M1相吸引，M2和 m2相吸引，产生力矩使细棒转动，吊丝也就跟着被扭转，固定在细棒中央的反光镜也同样旋转一个角度，其大小和作用力矩的大小成正比。因此，只要测出这个角度，便知道大小铅球之间的引力了。该装置有两个最为精彩的设计原理。一是转化原理，即：力→力矩→扭丝偏角→光标位移。通过三次转化，就使微小力的测量成为可能。另一个是放大原理，即：采用 T 型架（ 小球细棒与悬丝成 T 型）增大力臂；利用反射光路增大偏角；拉开小镜与光标尺的间距以增大位移，通过这三次放大，有效地提高了测量精度。卡文迪许实验仪器的参数是：细棒长 182cm、小铅球质量 m =730 克、大铅球质量 M =158 千克，振动周期 T =1680 秒。卡文迪许作过 29 组不同的实验去测定万有引力恒量 G，所得平均值为 G =6.717*10^-11牛顿•米2/公斤2，与目前的标准值得非常接近的。 现在的卡文迪许扭秤原理上与当年的差不多，但采用了小型化结构，包括大球在内总重量才 8 公斤左右，为防止气流、静电、磁力等干扰，仪器对悬丝及 T 型架、测试小球等实行封闭，而大球未封闭，便于操作，价钱也不贵，仅不到2000 元人民币，适合课堂演示和学生实验用；光源则采用激光加上放大镜观测，这样读数更加精确。令人费解的是许多著名大学物理系的本科毕业生都未做过这一实验，许多大学生连卡文迪许扭秤都未曾见过，有人甚至说该实验非常难做，要在高真空中进行。据我校物理实验室多年来的经验，普通中学生大都可以在一节课内完成这一实验，且误差都在 10%以内，其中还有一些同学测出的引力常数接近标准值。在前两章我们谈了太阳系的行星获得天然卫星或人造卫星与行星自转的关系，也就是说我们介绍了纯天然的实验（ 行星与天然卫星）和半自然的实验（行星与人造卫星）。以下我们进入实验室，用卡文迪许扭秤来对旋转球周围进行探测，看看旋转球周围到底存在什么秘密。 实验：用卡文迪许扭秤测万有引力的法向、切向分量1 本实验采用华东师大科教仪器厂 1985 年出产的NC -K 万有引力测定仪，该仪器对悬丝及 T 型构件密封很好，可防止气流及静电干扰，如图 6 1. 卡文迪许扭秤： 引力常数 G =π^2*b*2*ds/M*T^2*L 式中 M ：大铅球质量 T：扭秤振动周期 b：大小球中心距离 d：小球臂长 L：光点投影距离（可量） S：光点移动距离（可测得）我们多年来测得引力常数都较准确，举最近一次数据为例 图 6 -1 T =220 s b=4.61*10^-2m d=5.0 *10^-2m s=1.13*10^-2m M =1.5 kg L =2.70 m 考虑到 M2对 m1和 M1对 m2的吸引，故须乘以修正系数 （1 -0.073），代入数据： ...（1 -0.073)*3.14^2*（4.61*10^-2）*2*5.0*10^-2*1.13*10^-2 G = -------------------------------------------------------- ......② .....................1.5*220^2*2.70 =6.50*10^-11(N•m^2/kg^2) 误差 6.67*10^-11-6.5*10^-11 E = -----------------------=2.55% ......③ .........6.67*10^-11 将②代入①，即可求出引力，本文称万有引力法向分量，用 Fn表示。 2 .要测大 球 旋 转 时 对小球作用的力须重新设计实验。如图 6 -2 所示，将大球放在旋转台上，大球赤道平面靠近小球，旋转轴垂直水平面，这时大球从正面看去不是正对小球，而是处于小球的侧面：正面难攻，侧面迂回，这就是新构思的关键所在之一。为防振，旋转台与扭秤分放在两张靠近而不接触的实验桌上，桌脚与地面采用软垫隔振，对小球须进行磁屏蔽。 平视 俯视 图 6 -2 缓慢而平稳地转动大球发现激光点出现移动，（ 一般须一周期后）。测试小球移动方向沿大球转动切线方向，如图 2 俯视所见。现有万有引力指向质心，称法向分量用Fn表示，新发现的力垂直法向分量沿切线方向，称切向分量用 Ft表示，下面用几个小实验对 Ft进行一步的探测和研究。1 大球为 1500 g铅球，质心间距 7.5 cm，逆时针为正，顺时针为负，本装置光点移动 1 mm，受力约 2.50*10^-10牛顿。 表 6—1 大球转向---移动距离 mm---转速（圈 /秒） 逆时针--------0.5---------------1.0 逆时针--------0.6---------------1.0 逆时针--------0.4---------------1.0 逆时针--------0.5---------------1.0 顺时针-------(-)0.4-------------1.0 顺时针-------(-)0.5-------------1.0 顺时针-------(-)0.6-------------1.0 逆时针--------0.25--------------0.5 逆时针--------0.3---------------0.5 逆时针--------0.2---------------0.5 顺时针-------(-)0.3-------------0.5 顺时针-------(-)0.2-------------0.5 顺时针-------(-)0.25------------0.5 将表 6—1 绘成图，见图 6 -3 图 6 -3 小节： （1）小球受力的方向沿大球旋转切线方向 （2）力的大小与转速有关，类似正比关系，Ft∝ω 2.研究 Ft的质量关系转动大球分别为 1 kg 砝码，500 g 砝码，50 g 空心铜球，质心距 7.5 cm 大球种类------移动距离（mm）---转速 1 kg砝码--------0.4------------1.0 1 kg砝码--------0.3------------1.0 500 g砝码-------0.2------------1.0 500 g砝码-------0.15-----------1.0 50 g空心铜球----0.00-----------1.0 50 g空心铜球----0.00-----------1.0 结论：（1）Ft与质量类似正比关系，即Ft∝M （2）对于空心铜球，虽然其直径与其它转动大球相近，但因其质量太小，故其旋转产生 Ft甚微，同时亦证明仪器密封性能好，无气流干扰。 3 研究力的方向：大球为 1500 g铅球，质心距为 7.5cm，见图 6 -4 图 6 -4 偏移角度 A---位移（mm）---角速度ω/2π 30度-----------0.1------------1.0 60度-----------0.25-----------1.0 90度-----------0.00-----------1.0 0度------------0.5------------1.0 小结：Ft的方向与两球质心连线垂直，与大球旋转切线方向相同。4 研究 F与质心间距离关系。大球用 1500 g铅球。 图 6 -5 质心间距---位移（mm）---角速度ω/2π 7.5 cm-------0.50-----------1.0 7.5 cm-------0.50-----------1.0 100 cm-------0.25-----------1.0 1.0 cm-------0.25-----------1.0 小结：F1, 1/r2结论：如图 6 -5 所示，当球 M 自转时，两球之间的引力不仅有法向分量 Fn，而且有切线分量 Ft，即 F =Fn+Ft......④ 式④中，法向分量 Fn=GMm /r^2，方向指向对方质心：Ft为切向分量，方向与 Fn垂直，沿作用球旋转切线方向，如图6 -5 所示： Ft=cosa*GMmωk/r^2......⑤ 式⑤中ω为大球旋转角速度，单位圈 /秒，k = 0.40秒 /圈为比例系数，) 为两球质心连线与其在旋转球质心所在最大旋转面（类似地球的赤道平面）投影的夹角。 如两球处于静止状态或相互没有切割引力线，则 F =Fn，Ft=0，这就是现有万有引力定律，但毕竟茫茫宇宙中，没有不自转、不运动的星球。 式④中，Fn为保守力，所以▽XFn=0......⑥ Ft为涡旋力，因此▽XFt=/=0......⑦ 关于公式 Ft=cosak*ω*MmG /r^2的运用。 1.类似一台发动机，旋转球传递能量是以其周期为单位的，例如太阳向行星传递能量，太阳每自转一周，向行星传递的能量是相同的。 2。因测试球[即卡文迪许扭秤中T型架上的小球]是静止的，而行星是运动的，有公转速度，因此必须考虑相对角速度差。例如太阳自转十周相当250天，而水星公转一周88天，250天中水星绕太阳自转方向公转了近三圈，这一角速度差q=1－25/88 =0.716.太阳月球及九大行星半径、自转周期、质量、自旋力、卫星数对照表： 名称-----半径 r---自转周期 T---质量 M---涡旋力 Ft=KGωMm /r^2---卫星数 地球-----1.0--------1.0--------1.0--------------1.0---------------1 太阳-----109--------25---------3*10^5-----------1.01--------------9 月球-----0.272------30---------0.012------------0.0054------------0 水星-----0.38-------59---------0.055------------0.0065------------0 金星-----0.95-------244--------0.82-------------0.0037------------0 火星-----0.53-------1.026------0.11-------------0.38--------------2 木星-----11.2-------0.41-------318--------------6.18--------------61 土星-----9.4--------0.44-------95---------------2.44--------------31 天王星---3.8--------0.7--------14.5-------------1.43--------------22 海王星---3.9--------0.76-------17---------------1.47--------------12 冥王星---0.50-------6.4--------0.17-------------0.106-------------1 注：冥卫一：（charon）1978 年发现。对比九大行星，我们不难发现，质量相近的行星，涡旋力大的拥有卫星多，反之卫星少甚至没有卫星。木星涡旋力最大，拥有九大行星中最多卫星；土星自旋力排第二，卫星数也排第二；金星虽然比火星大，由于自旋力不及火星的百分之一，所以不仅无天然卫星，且获得人造卫星也比火星更难。 参考:1.用卡文迪许扭秤测万有引力切向分量（ 涡旋力） <<物理通报>>2002-9. 2.<<神秘的涡旋力>>21世纪出版社2005-4 |