设行星的极坐标是(r,θ)，直角坐标是(x,y)，θ=0对应于x轴正向，由极坐标与直角坐标间的基本数学关系有
x=rcosθ...........(1)
y=rsinθ............(2)
y/x=tgθ............(3)

由牛顿第二定律和万有引力定律得，行星的加速度
a=(x",y")=F/m=-GMr/r³=-GM/r²(cosθ,sinθ).............(4)
显然有y"/x"=tgθ，已知y/x=tgθ，于是有
y"/x"=y/x
xy"-x"y=0
(xy"+x'y')-(x"y+x'y')=0
(xy')'-(x'y)'=0
(xy'-x'y)'=0
xy'-x'y=C
x²(y/x)'=C
(rcosθ)²(tgθ)'=C
r²θ'=C................(5)
(5)代入(4)得
(x",y")=-GM/C(θ'cosθ,θ'sinθ)
两边积分得
(x',y')=GM/C(C₁-sinθ,C₂+cosθ)...............(6)

r=sqrt(x²+y²)
r'=(xx'+yy')/r=x'cosθ+y'sinθ ...........(7)

(6)式按分量展开代入(7)式(并进行常数符号替代，这在积分中经常不加声明地直接进行)得
r'=C₁cosθ+C₂sinθ
r'/r²=C₁cosθ/r²+C₂sinθ/r²
将(5)式代入到此式得
r'/r²=C₁θ'cosθ+C₂θ'sinθ
两边积分得
-1/r=C₁cosθ+C₂sinθ+C₃
r=C₃/(1+C₁cosθ+C₂sinθ)
r=C₃/(1+C₁cos(θ-C₂)).................(8)
这个方程就是行星的轨道方程（即轨道的几何形状，但不是运动方程，因为不含时间t），对称轴为θ=C₂。这是焦点在原点的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的一般方程。通过坐标设置强制使对称轴为x轴，则有标准形式
r=C₁/(1+C₂cosθ)...................(8s)
将(8s)代入(5)得
θ'=(C₁+C₂cosθ)²
此式的解与(8)式结合就构成了行星的极坐标运动方程。