|
光速独立性导致时间空间不独立，以后以时空这词表示。设两个惯性系K，K''。K中坐标X
=(x1，x2，x3，x4)(x4=ict)，K''坐标X''=(x1''，x2''，x3''，x4'')(x4''=ict'')。 i=Sqrt[-1]，为方便引进的。 K''在K中速度为V。设t=0两坐标系原点重合，并且这时位于元点设一点光源发光。由光速 独立原理，我们在两个坐标系中都将观察到一个球面波的传播。其波前以光速c沿径向传播。 传播距离平方R=(ct)^2=x1^2+x2^2+x3^2 in K and R''=(ct'')^2=x1''^2+x2''^2+x3''^2。所 以有： x1^2+x2^2+x3^2-c^2t^2=0 x1''^2+x2''^2+x3''^2-c^2t''^2=0 (1) 这样就知道： x1^2+x2^2+x3^2-c^2t^2=p(V)*(x1''^2+x2''^2+x3''^2-c^2t''^2 其中p(v)=＞0是一个可能和速度有关的量，表示由于相对运动引起的可能度规变化。但是 由于K，K''两系统对称性，我们必然有p(V)^2=1=＞p(v)=1，这样我们就知道K，K''的时空是 等度规的。度规相同表示一切几何内蕴量一致。 x1^2+x2^2+x3^2-c^2t^2=x1''^2+x2''^2+x3''^2-c^2t''^2 用内积(就是矢量点乘运算)表示就是： ＜X，X＞=＜X''，X''＞ (2) 注意，(2)是光速独立及不变性的直接严格结果(再提醒一下，相对论两个基本假设直接来源于波动方程的Galilean不协变性，从而引起电动力学困难，最后导致ether假设，激发早期(被证明有严重问题)实验探求，终于引发革命这个历史。严格实验是60年代作的)。 普遍的相对性原理就是，寻求坐标变换： X=F(X''；V) (3) 使度规不变性(2)得以满足。F是一个矢量函数，V是个参数表示K''在K的速度。我们讨论一下它的性质。 由于相对论惯性系等价的假设，变换F必然有唯一的逆变换G： X''=G(X；V) (4) 同时这等价性蕴含下述对称性： G(X；V)=F(X，-V) (5) (4)，(5)是很强的条件，它们限制F必然是线性变换，(5)同时也为这线性变换作了更强限制。线性变换可以用矩阵表示 X''=A(V)XX=A(V)^{-1}X'' (6) A(V)^{-1}表示依赖于速度的逆矩阵。A(V)是四阶矩阵，有16个元素需要确定。 由下列条件： ＜X，X＞=＜X''，X''＞；X''=A(V)X；X=A(V)^{-1}X''及线性代数运算可以证明，A(V)是 列正交，行正交的矩阵，这就有12个方程，所以还差四个参数待定。 再考虑K，K''关系： Forx1''=x2''=x3''=0，X的坐标部分位置是Vt。这时三个条件，但是同时带进来矩阵A(V) 外的元素t和t''。所以现在这三个条件其实只相当于一个，我们还剩三个元素待定； Forx1=x2=x3=0，X''的坐标部分为-Vt''。这有是三个条件。这样我们终于唯一确定了矩阵A(V)。 以上便是Lorentz变换的推导。对特殊情况，选K，K''某坐标重合，另外两坐标平行，就可以得到简单变换关系，通常科普书上的就是。 如果再形式化，并且深刻一些，应该讨论Lorentz群。它是O(3，1)群。 (3) 电动力学背景 狭义相对论的直接思想背景在于电动力学规律的经典协变不成立，导致绝对参照系的存在，而探寻这参考系的努力均失败之上。后来为狭义相对论所作的实验，很多又基于电动力学原理。了解这些实验就必须熟悉电动力学。另外，50年代前大部分实验是无物理意义的，比如迈氏实验。其原因也是电动力学的原因。所以无论想了解狭义相对论的发生基础，还是想了解相对论的现代实验，以及了解为什么50年代前的大部分实验无意义，都得懂电动力学。 |