微分方程为：d[(1-x / b²) y ]= - dx / (a+y)

式中的b ,  a为常数，且b＞＞a , y

求x的近似解？

我求出的近似解为：1-x / b² ≈1+y² /2 b² +ay / b² + 常数

不知正确否？诚请指点！

微分方程为：d[(1-x / b²) y ]= - dx / (a+y)

令B= 1/b²

yd(1-Bx) +(1-Bx ) dy = - dx / (a+y)

-Bydx+(1-Bx ) dy = - dx / (a+y)

(1-Bx ) dy = [By- 1 / (a+y)]dx

dy/ [By- 1 / (a+y)]=dx/(1-Bx )

(y+a)/(By²+aBy-1)dy=dx/(1-Bx)

两边都是可积的有理分式，左边分母的判别式大于零，可分解为一次式，有公式解，请查积分手册，但最后得到的是隐函数f(y)=g(x)。

dy (y+a)/(By²+aBy-1) =dx/(1-Bx)

左边∫dy (y+a)/(By²+aBy-1)

= ∫y dy /(By²+aBy-1) + a∫dy//(By²+aBy-1)

=(1/2B)ln|(By²+aBy-1)|-(a/2)∫dy//(By²+aBy-1) + a∫dy//(By²+aBy-1)

=(1/2B)ln|(By²+aBy-1)| +(a/2)∫dy/(By²+aBy-1)

=(1/2B)ln|(By²+aBy-1)| + 1/2(a²B²+4B)^1/2ln|[2By+aB-(a²B²+4B) ^1/2]/ [2By+aB+(a²B²+4B) ^1/2]|

右边∫dx/(1-Bx)=（-1/B）ln|1-Bx|

左右两边相等，则有：

|1-Bx|=|( (By²+aBy-1)|^-1/2×{|[2By+aB-(a²B²+4B) ^1/2]/ [2By+aB+(a²B²+4B) ^1/2]|}^- 1/2(a²B²+4B)^1/2

式中1-Bx＞0， B=1/b²=1/c² (c光速)  y相对速度  且有c＞＞y和a 。通解的常数项能为初始条件消除。

请问在近似时，上式能否化简为：（略去更高级小量）

1-x / b² ≈1+y² /2 b² +ay / b²

|1-Bx|=|( (By²+aBy-1)|^-1/2×{|[2By+aB-(a²B²+4B) ^1/2]/ [2By+aB+(a²B²+4B) ^1/2]|}^- 1/2(a²B²+4B)^1/2

应纠正为：

|1-Bx|=|( (By²+aBy-1)|^-1/2×{|[2By+aB-(a²B²+4B) ^1/2]/ [2By+aB+(a²B²+4B) ^1/2]|}^R    ， R= - 1/2(a²+4/B)^1/2

在S’参照系中，质点在合外力F作用下，从0→V这个过程中(假定质点的内能和势能不变)质点的动能增量为E_k，根据动能定理：

dE_k=Fdr   (dr为质点相对参照系的元位移)

如果我们否定相对性原理的子公设2（二级效应也不存在特别优越参照系的实验判据），那么又可再引入一个新的物理量，定义如下：

设这个过程中质点与环境(外部作用物)之间有着能量转移，转移的能量总和为ΔE，其微分为：

dΔE=Fd（r₀+ r）   （dr₀为参照系相对特别参照系的元位移）  （2）

这样一来，E_k和ΔE是同一过程中同时并存而又完会不同概念的两个物理量。转移能量ΔE满足能量多少定义，因此它对于任何观察者都是一样的，而单个质点动能增量ΔE_k的计算依赖于参考系的选择。

不难发现，ΔE这个量同样与牛顿力学相容的，因为在所有能被实验所验证的事例中，式（2）中的r₀都能被抵消（如相互作用事例），这就表明ΔE这个量同样满足能量守恒定律。

如果再以静能方程E=m₀c²当作第二公设引入，那么动力学方程

        F=d(mv)/dt                  （3）

中的m= m₀ +ΔE/c²  。若ΔE＞0，则表示物体借助于外力做功从环境吸了物质；若ΔE＜0，则表示物体借助于外力做功向环境辐射了物质。此外，ΔE是可测的，因而m也是可测的。我们令：

φ= -ΔE/m₀

则有：m = m₀（1-φ/c²）。             （4）

由于转移能量ΔE在运动质点形成的了运动场W，因此φ就为该场的运动势。结合（2）、（3），（4）式，化简得：

d[ (1-φ/c²)v]= -dφ/(v₀+v)

不难看出，若v₀≡0，将退化为相对论。

1、当观察者在特别优越参照系上时，v₀=0，上述方程的解为：

(1-φ/c²)=（1-v²/c²）^-1/2

2、v₀和v为同一直线，且参照系S’为相对特别系匀速直线运动系，则v₀为常数。这就成了我上面所说的习题。得近似解为：

(1-   φ/c²)≈1+v²/2c²+vv₀/c²

我想不通的是：当v矢量与v₀相反，且|v ₀|＜|v|时，上述的近似解似乎会出问题，不知是解方程时出问题，还是其它方面？

改行搞行政十多年了，函数幂的展开也忘得差不多，故请求指点！

不能假定普通参照系与优越参照系中F是一样的。因为d(mv)不保证一样，dt也不能保证一样。

回复：在S’惯性系中，运动质点某瞬间的动力学方程：

F=d(Mv)/dt

式中dt由S’ 惯性系各点放置的同步静止钟确定, S’ 惯性系描述运动质点位移也是欧几里得的，这点与相对论的做法是一样的。与此同时，方程dΔE=Fd（r₀+ r）也是对应于S’该该瞬间的。

这就是说，我根本没有优先采“普通参照系与优越参照系中F是一样的”的条件，即使出现了一样，那也是逻辑的结果。

而且你似乎隐蔽地使用了E=mc^2。所以我不认为你的推导达到了公理化体系的严谨性。

吴：以静质能方程E₀=m₀c^2为公设，结合物质质量的定义，推导出：

E=Mc²

式中的M= m₀ +ΔE/c² 

如果我们不理会物质质量定义，直接以E=Mc²为第二公设也一样的。这个公设优点是并不要求单向光速不变换，并且可以预言单向光速是可测的。

我的推导达到了公理化体系的严谨性的理由还在于这点：参照系的绝对运动速度v₀≡0，ΔE与E_K合并为一个量，本文所建立的所有惯性系之间的时空连结将完全地退化为洛伦兹变换。相对论早期用相对论质速公式或是相对论质能公式取代光学不变原理来建立洛伦兹变换的文献很多。文献中它们也是用“能量具有质量”这句话来定义同时性的相对性。

当然，按这种方法建立的洛伦兹变换是不如爱因斯坦的，因为v₀≡0已经意味着我们不能用本文方法$2对钟，只能选取爱因斯坦的对钟法。即不用爱因斯坦的对钟法，那么整个理论就变得无法操作性。这也是您以前置帖的不足处。

dΔE=Fd（r₀+ r）   （dr₀为参照系相对特别参照系的元位移）

正和：这个式子也让人很困惑。它是针对哪一个参照系成立的？如果是针对绝对静系，则r是动系的度量，在绝对静系中并不具有与r₀相加的权利。

如果是针对动系成立的，则整个式子并不符合前面的动能定理中的物理量定义。若说做为新公理引入，则其正确性完全不是显而易见的，而且一切差别可能就是来自这个新公理。

F=d(mv)/dt是一个不好的定义，得到的力不是协变的，与牛顿理论在某种形式上沟通可能是这种定义的唯一作用。相对论的定义是F=dP/dτ。

回复：dΔE=Fd（r₀+ r）是相对于动惯性系S’而言.。牛顿力学及相对论认为S’封闭实验中观察者不可以用实验来测定S’相对于绝对参照系的运动速度V₀，自然S’观察者就没有权力把r₀与 r相加。然而，本文认为S’封闭实验中观察者可以用实验来测定S’相对于绝对参照系的运动速度V₀，自然二者就可以相加了，从而达到在认识论上是完善的。