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　　赵爽“证明”勾股定理与欧几里德的证明不能相提并论

　　作者：abada

　　数学（包括几何学）里的定理或命题的“证明”，是一个逻辑体系的推演结果，这个体系里，定理证明的前提是有公理体系和逻辑推演体系。显然，欧几里德的毕达哥拉斯定理的证明属于这样的体系，而中国古代的赵爽或世界上其他古人的所谓“证明”，就不见得是属于类似的体系，也就不见得是现代意义上真正的数学证明。

　　黎日工《中国也能独立产生自然科学——从勾股定理谈起》一文中写到，“中国最早证明的是三国时期吴国数学家赵爽，大约在公元300年证明了勾股定理。他给出的构图证法直观而简洁：先把一对直角三角形沿弦边拼成一个矩形，把四个一样的矩形围成一个正方形，于是四条弦边也围成一个正方形，弦边正方形中有四个直角三角形及中间一个小正方形“洞”，这五小块面积加起来应等于弦边平方即弦边正方形面积，于是就推出勾股定理：弦平方等于勾平方加股平方。你不妨在纸上操作一遍，定会叹服这位一千七百年前的古人。”

　　其实，赵爽的所谓证明，如果没有有体系的前提步骤，则仍然属于直觉归纳，正如东郭先生在《勾股定理的历史验证了杨振宁的理论》一文所说的。

　　仔细考虑赵爽的证明，他摆出的“弦边正方形”中，的确有四个直角三角形及中间一个小“洞”，但是，怎么保证那个大正方形就一定能摆成？这里本身就需要证明。例如，可能需要“三角形内角和等于平角或2倍的直角”的定理来证明这个图形的成立。而“三角形内角和等于平角或2倍的直角”的定理，却可能需要平行公理来证明。

　　也就是说，要严格地逻辑推演证明勾股定理，并非赵爽那样简单，而是最后要落实到平行公理上。另外，欧氏几何本身的更严格的公理化，以及这些公理的完备性和无矛盾性，却是在20世纪大数学家希尔伯特等工作下才完成的。

　　问题就在于，平行公理也并非真实世界的“真理”，而是人假定的一个几何学逻辑公理前提。在另外的几何学里，比如非欧几何（包括黎曼几何），恰恰把平行公理之不成立作为前提。这时，三角形内角和就不等于平角了，赵爽的图形也就摆不正了，勾股定理也就不是那么回事了，就必须修改了。

　　实际上，根据爱因斯坦的广义相对论，在大范围宇宙里或物质能量密度较大的空间中，非欧几何恰恰比欧氏几何中用，也就是通常讲的勾股定理并不成立。

(XYS20050410)

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