行星之间并没有刚体实物将它们连接起来，行星轨道是动态平衡问题。角动量守恒指的是转动着的物体，没有受到外力矩作用时，转速可以随着自身转动惯量改变而改变，但总的角动量保持守恒。

将一个陀螺竖直安放在水平面上，如果陀螺的重心处于陀螺底部与水平面接触点的垂直线上，陀螺在理论上可以静止竖立在水平面上。由于这是不稳定平衡，稍有偏差，或者是受到很小的外力作用，静止竖立在水平面上的陀螺就马上会倒下。将一只图钉快速转动后放在水平面上，它也能站立。直到转速变慢后，图钉才扭腰倒下。

显然，可以将2只同样质量的小球对称固定在转动轴两边来进行分析。当小球绕着转轴转动时，小球受到的作用除了有垂直方向的重力外，还有向心力，向心力由连接2只小球的刚体物对小球的拉力提供。小球转速较低时，向心力较小，小球受到的重力与向心力之合力指向转轴与水平面接触点外侧，它将对小球产生使其绕转轴与水平面接触点向下方转动的力矩。虽然两只小球对转轴与水平面接触点产生的力矩方向相反，但整体上处于非稳定平衡状况。提高小球的转速，使小球受到的重力与向心力之合力指向转轴与水平面的接触点时，它们就不会对小球产生使其绕转轴与水平面的接触点转动的力矩了。进一步提高小球的转速，小球受到的重力与向心力之合力指向转轴与水平面的接触点上方，它们将对小球产生使其绕转轴与水平面接触点朝上方转动的力矩。由于没有使小球往外倒下的力矩存在，两只小球对转轴与水平面接触点产生的力矩方向相反，整体上处于稳定平衡状况。实际的陀螺是2只同样质量的小球对称固定在转动轴两边的无限组合，由于不可能做到绝对对称，总是存在小量偏心。头重脚轻或头轻脚重都容易歪倒，可通过实验找到最佳的比例结构。从具体的数学计算上进行分析相当麻烦，但一定会找到相对最稳定的设计结构。

玩耍的垂直陀螺底端是球面，并非是尖点。转轴一端在水平面上，并通过质心。质心不在正中时，陀螺就晃动。质心偏离正中很小时，由质心与陀螺底端面上某点构成的转轴可以自动找到垂直方向。最好陀螺底端球面的球心正好是质心，更有利于转轴自动找到垂直方向。抽陀螺是为了提高转动速度，完全可以将它抽离地面再落下，继续保持站稳转动。用鞭子抽陀螺转动时，它受到的扰动并不小。只要陀螺偏心很小，转动速度达到足够高，它就能保持站立状态。

垂直陀螺转动时，转轴也在绕着质心转动。当转轴不是严格垂直方向时，与地面接触的点就要划成圆圈。陀螺底部与水平面的接触点划成大圆圈，显然比划成小圆圈时受到地面的摩擦力作用大。该摩擦力可阻止划成的圆圈变大，在一定范围内保持住原先的状况。

事实上，在非常光滑的地面玩陀螺，比在有较大摩擦力的地面玩陀螺，更容易倒下。底端太尖的陀螺也不容易站稳。

小商卖的陀螺是安装在一个圆环之中，转动轴两端有凸出支柱。实际试试，转动后可否一端放在桌边水平悬空？最大倾斜角度有多大？坚持多久与转速相关。

单个陀螺没有公转问题。

一端由软线吊住的水平陀螺，软线对陀螺的拉力有向上的分力，而陀螺有重力，这两个力可形成力偶使其陀螺转动最后与软线延垂直向拉直。

说那些角动量与转动惯量的关系没有什么意思。力矩方向乃是人为给出来进行数学计算的约定，其实也可以把相反的方向约定成力矩方向。转动着的物体根本没有要向力矩方向前进的必然性。如果没有其它力作用到转动物体上，仅仅是均匀引力场不会对转动物体的转轴方向有任何影响，这是不用争论的事情。

在均匀引力场中转动着的物体，如果受到其它机械作用力，且作用力不通过质心，它还能保持转轴方向不改变并因此而处于平衡，悬在空中吗？这才是问题的关键。

Ccxdl  2005年1月25日