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用运动标准钟公式(该公式可参见60182帖)继续讨论一下双生子的问题： 为了简化，只考虑一维空间情况，给定一个惯性系 I(X,T)，孪生弟弟。定义哥哥处在非惯性系i(x,t)，其变换为:
那么 ds2 = c2dT2 – dX2 可看出该系不是时轴正交系（γ1 ≠ 0），且具有动态引力势。可以得到非惯性系i(x,t)的纯空间度规 dσ2 =γ11dx2 = [c2/(c2-v2)]dx2 而原惯性系I(X,T)的相关值为γ1 = 0，γ11 = 1
首先以惯性系弟弟I(X,T)的观点，取相关度规变量代入： 以非惯性系哥哥i(x,t)的观点，取相关度规变量代入： 由 dt = dT，可知，无论从那一方观点，都有： 因此处在非惯性系中的哥哥的固有时流逝始终小于弟弟。取 v 相反，结论不变，因而当孪生子再度相会时，哥哥要更年轻一些。其年龄比为(1 – v2/c2)1/2dt 的路径积分。 有人会问了，如果把上式的 v(t) 换为与时间无关的 v，作匀速直线运动，不也应该推导出同样的结果吗？ 答案是否定的，因两个惯性系之间的坐标变换，不存在 dt = dT 的关系。假如我们仍然像上面一样推导，假设dt = dT，那么由（3）可以看出，由于 v ≠ 0，该系不是时轴正交系（γ1 ≠ 0），并且具有均匀引力势，只不过由于场强为零，故i(x,t)仍然是惯性系。然而由于该系的度规与原惯性系不同，因而违反了SR的惯性系平权原理，需要对其度规进行正交化消除矢势，而正交化的结果是各惯性系具有了相同的度规形式，但正交化的过程也破坏了dt = dT的关系。 因此两个惯性系之间只能存在dτ 相等的关系，双方的固有时流逝的速率dτ仍然相等。只不过双方的时钟同时面无法在各地达到一致，因而产生了尺缩时涨的效应。 |