伽利略变换的完美证明

刘金勇（E-mail:ljy2002001@163.com）

爱因斯坦用其光速不变假设证明了洛仑兹变换，并得到了一个错误结论即“光速是最大速度”，这一错误结论深刻地印在了接触和学习相对论的人们的意识里。人们普遍认为在相对论里或在物理学里，讨论大于光速c的速度是没有意义的，一些认识到相对论是一个荒谬理论的人也总是试图寻找一种超光速运动粒子以期得到相对论的反证据，这些错误观念都是对洛仑兹变换及相对论盲目接受而造成的。我在《洛仑兹变换的困难》一文中论证了洛仑兹变换中的速度可以大于光速以至于无穷大，洛仑兹变换与伽利略变换的区别不在于它们所使用的速度的有限与无限，而在于粒子在一个惯性系中的速度趋于无限时，它在另一个惯性系中的速度有限还是无限。如果粒子在一个惯性系中的速度趋于无穷大，而在另一个惯性系中的速度趋于一有限值，就得到洛仑兹变换，显然这一条件违反惯性系平权原理。如果粒子在一个惯性系中的速度趋于无穷大，而在另一个惯性系中的速度也趋于无穷大，就得到伽利略变换，下面我们使用这一极限条件给出伽利略变换的严格证明。

设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动，自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(a_ij) (i,j=1,2,3,4)，即

(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A                           ①

令R=(x,y,z)，R’=(x’,y’,z’)，A₁₁=(a_ij) (i,j=1,2,3)，A₁₂=(a_i4) (i=1,2,3)，A₂₁=(a_4j) (j=1,2,3)，A₂₂=(a₄₄)， 则由K到K’的线性变换可改写为

R’=RA₁₁+tA₂₁，t’=RA₁₂+ta₄₄                     ②

于是

dR’/dt’=((dR/dt)A₁₁+A₂₁)/((dR/dt)A₁₂+a₄₄)

令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度，上式可改写为

V’=(VA₁₁+A₂₁)/(VA₁₂+a₄₄)                        ③

满足上述速度变换的初始条件有（1）洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件：“V’=0，V=U”与“V=0，V’=–U”；（2）满足伽利略变换的极限条件：|V|→∞时，|V’|→∞。

将条件（2）代入，并令V/|V|=V₀得

|V’|=|(V₀A₁₁+A₂₁/|V|)/(V₀A₁₂+a₄₄/|V|)|=|V₀A₁₁/V₀A₁₂|=∞  (|V|→∞)

上式成立，必有A₁₂’=0=(0,0,0) [注1]，于是③式变为

V’=VA₁₁/a₄₄+A₂₁/a₄₄                             ④

再将条件（1）代入④式，得

UA₁₁/a₄₄+A₂₁/a₄₄=0，A₂₁/a₄₄=–U

由此得

A₂₁=–UA₁₁，A₂₁ =–Ua₄₄

由于U=(u,0,0)，代入上式便得a₁₂=a₁₃=a₄₂=a₄₃=0，a₄₁=–a₁₁u， a₄₄=a₁₁，再由A₁₂’=(0,0,0)得a₁₄= a₂₄=a₃₄=0，代入④式，并令V=(v_x,v_y,v_z)，V’=(v_x’,v_y’,v_z’)，便得

(v_x’,v_y’,v_z’)=(a₁₁(v_x–u)+a₂₁v_y +a₃₁v_z，a₂₂v_y +a₃₂v_z，a₂₃v_y +a₃₃v_z)/a₁₁     ⑤

由于对于v_x’=0的点，v_x =u，代入便得a₂₁=a₃₁=0；对于v_y =0的点，v_y’ =0，代入便得a₃₂=0；对于v_z =0的点，v_z’ =0，代入便得a₂₃=0，于是有

a₁₂=a₁₃= a₁₄= a₂₁=a₂₃=a₂₄= a₃₁=a₃₂=a₃₄=a₄₂=a₄₃=0，a₄₁=–a₁₁u，a₄₄=a₁₁

将上述条件代入①式得

(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a₁₁(x–ut)，a₂₂y，a₃₃z，a₁₁t)                ⑥

又当t=0时，K与K’两惯性系重合，故当t=0时，有x’=x，y’=y，z’=z [注2] ，代入⑥式便得a₁₁=a₂₂=a₃₃=1，这样就得到了伽利略变换为

(x’,y’,z’,t’)=( x–ut，y，z，t)                        证毕。

[注1] A₁₂’表示A₁₂的转置。

[注2]显然这一条件是相对论所不容许的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛仑兹变换证明中的假定a₂₂=a₃₃=1，或根据洛仑兹变换证明中使用的惯性系平权原理：自K’系到K系的线性变换为A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a₁₁=a₂₂=a₃₃=1，从而得到伽利略变换，恕不赘述。