采用自然单位制（常数c=1）。

已知参考系ECI(t,r,θ)的线元（度规）为ds²=dt²-dr²-r²dθ²

从ECI(t,r,θ)-->参考系ECEF(T,R,Θ)的坐标变换为

T=t
R=r
Θ=θ-ωt

逆变换为

t=T
r=R
θ=Θ+ωT

故ECEF的线元（度规）

ds²=dt²-dr²-r²dθ²
=dT²-dR²-R²(dΘ+ωdT)²
=(1-ω²R²)dT²-dR²-R²dΘ²-2ωR²dΘdT

写成张量为g^ij，i,j=0,1,2. g⁰⁰=1-ω²R²,g¹¹=-1,g²²=-R²,g⁰²=g²⁰=-ωR²,其它g^ij=0。

考虑ECI中垂直于半径通过点p(t=0, r=K,θ=0)的光线，显然其世界线方程为

（1）逆时针通过P点时

tgθ=t/K
cosθ=K/r

（2）顺时针通过P点时

tgθ=-t/K
cosθ=K/r

由坐标变换知p点在ECEF中的坐标为P(T=0, R=K, Θ=0)，两世界线在ECEF中的方程分别为：

（3）逆时针

tg(Θ+ωT)=T/K
cos(Θ+ωT)=K/R

（4）顺时针

tg(Θ+ωT)=-T/K
cos(Θ+ωT)=K/R

先考虑（3），用隐函数微分法求导

dΘ+ωdT=dT/(K+T²/K) ==> dΘ/dT=1/(K+T²/K)-ω

KdR/R²=sin(Θ+ωT)(dΘ+ωdT) ==> dR/dT=R²/Ksin(Θ+ωT)(dΘ/dT+ω)=R²sin(Θ+ωT)/(K²+T²)

在P(T=0,R=K,Θ=0)的坐标光速为：

V_P=(dR,dΘ)/dT=(dR/dT,dΘ/dT)=(0,1/K-ω)

再考虑（4），同理有

V_P=(0,-1/K-ω)

ECEF中的我们是如何理解这两个坐标速度的呢？

实际上我们认为坐标速度的第二分量是光在P点的瞬时角速度ω_c，由于第一分量——径向速度——为0，故光的线速度C=Kω_c，并由此认为，逆时针光速为1-Kω而顺时针光速为-(1+Kω)，不考虑符号即(1-v)和(1+v)，如果不用自然单位制则为(c-v)和(c+v)。这种根据坐标速度得到的“光速大小”即“表观光速”，各向异性。

但是，固有（相对）光速不是这么定义的，固有相对速度是用世界线夹角的正切值定义的，也就是“瞬时惯性系”或“切空间”中定义的。固有光速是光子世界线与观察者世界线的夹角正切值。现在我们据此定义来求固有（相对）光速。

对（3）逆时针

光子世界线在P点的非归一化方向矢量为V_C=(dT,dR,dΘ)/dT=(1,dR/dT,dΘ/dT)=(1,0,1/K-ω)

P点静止观察者世界线的非归一化方向矢量为V_O=(1,0,0)

设夹角为ψ，则

cosψ=(V_C,V_O)/(|V_C||V_O|)=(g^ijV_CiV_Oj)/[sqrt(g^ijV_CiV_Cj)sqrt(g^ijV_OiV_Oj)]

容易验证(g^ijV_CiV_Oj)和(g^ijV_OiV_Oj)均不等于0，而(g^ijV_CiV_Cj)=0，请自行在稿纸上演算。

故cosψ=∞，即ψ=i∞

故C=tg(ψ)/i=th(ψ/i)=th∞=1

对（4）顺时针，用同样步骤计算，仍有C=1。

即Sagnac圆盘上，固有（相对）光速不变。