本帖将用线性代数的方法来推导洛仑兹变换和伽利略变换，为了不至于太冗长，一些中间运算步骤被省略，请有兴趣的读者准备纸笔自行补足省略的中间运算。

设有惯性系R(t,x,y,z)和R'(t',x',y',z')，原点重合，分别偶联于观察者O，O',并且所建立坐标系为正交直线坐标系。O'相对于O沿x(x')轴正向以速度v匀速运动。

一、由时空均匀、线性公设，R-->R'的变换为

R'=RT            （1）

其中，

t_ij，i=0,1,2,3；j=0,1,2,3为待定系数。要求坐标系的建立方式满足：当O'相对于O的速度为0时，T退化为单位变换I₄。

二、如果对R的z轴和R'的z'轴做反射变换T₃，即z-->-z, z'-->-z'

则观察者O,O'的关系不变，RT₃-->R'T₃的变换仍为T，即

(R'T₃)=(RT₃)T           ==>

R'=R(T₃TT₃^-1)        （2）

对比（1）（2）式，可知

T₃TT₃^-1=T            ==>

三、如果对R的y轴和R'的y'轴做反射变换T₂，即y-->-y, y'-->-y'

则观察者O,O'的关系不变，RT₂-->R'T₂的变换仍为T。即

(R'T₂)=(RT₂)T               ==>

R'=R(T₂TT₂^-1)        （4）

对比（1）（4）式，可知

T₂TT₂^-1=T          ==>      //用（3）式T的部分解参与计算

四、如果对R的x轴和R'的x'轴做反射变换T₁，即x-->-x, x'-->-x'

则观察者O,O'的关系刚好交换，依据惯性系平权原理，此时O相对于O'沿x(x')轴正向以速度v匀速运动，因此R'T₁-->RT₁的变换为T。即

(RT₁)=(R'T₁)T               ==>

R=R'(T₁TT₁^-1)        （6）

对比（1）（6）式，可知

T₁TT₁^-1=T^-1             ==>  //用（5）式T的部分解参与计算

由（7）式可解得（技巧提示：考虑v=0时，T退化为I₄）

五、已知变换T将R中的世界线方向矢量v=(dt,dx,dy,dz)=(1,v,0,0)dt变换成R'中同一世界线的方向矢量v'=(dt',dx',dy',dz')=(1,0,0,0)dt'，即

v'=vT      ==>    //用（8）式中T的部分解参与计算
               //技巧提示：只需要利用第二个分量被变换为0的性质，就可以避免未定的t'/t的影响

步骤一至五对牛顿和爱因斯坦都是相同的，任何反对意见都必须同时反对两者。

六（A）、对爱因斯坦而言，有光速不变原理，故T将R中的光子世界线方向矢量c=(dt,dx,dy,dz)=(1,c,0,0)dt变换成R'中同一光子世界线的方向矢量c'=(dt',dx',dy',dz')=(1,c,0,0)dt'，即

c'=cT       ==>    //用（9）式中T的部分解参与计算
                //技巧提示：只需要利用变换后第二分量与第一分量之比为c的特点，就可以避免未定的t'/t的影响

t₀₀=1/sqrt(1-v²/c²)=γ     

代入（9）式，四维洛仑兹变换完全确立

六（N）、对牛顿而言，T将R中的光子世界线方向矢量c=(dt,dx,dy,dz)=(1,c,0,0)dt变换成R'中同一光子世界线的方向矢量c'=(dt',dx',dy',dz')=(1,c-v,0,0)dt'，即

c'=cT      ==>    //用（9）式中T的部分解参与计算

t₀₀=1

代入（9）式，四维伽利略变换完全确立

七、对于坐标系R，R'定义不满足v=0时T=I₄，并且相对运动不是沿x(x'）轴的情况，只需要构造满足标准要求的两个坐标系R1，R1'，原坐标系R，R'可通过线性变换（这时不涉及速度）过渡到R1，R1'，就可应用标准形式的洛仑兹变换或伽利略变换了；而直接在R与R'间的变换不过是三个变换的复合而已。