引   言
Einstein的广义相对性理论以及其验证这一理论的几个决定性实验即光线的引力红移、光线在引力场中的超常偏折以及水星近日点的剩余进动等问题是一个非常专业的理论物理问题。不过，我一直来认为Einstein意识到这一点，是具有划时代意义的，Einstein意识到Newton的星体引力理论导致的与实验结果的微小误差是理论性的。不过这位老先生的物理方法实在是过于抽象复杂。狭义相对性理论已经够抽象和玄乎的了，又来什么更加抽象的时空弯曲概念上建立广义相对性理论。当然如果我们仅仅用一个理论的抽象性来随便否定该理论，这种做法本身也似乎不是科学的。但是，令人遗憾的是这一理论即使在实用方面也存在缺陷，这一情况导致很多人们试图建立更好的理论。当然事情是问题本身的困难，以至于现代学者们即使想不相信什么时空弯曲概念，也没有什么别的更好的办法。也许事情并不尽然，其实我在十年前造访浙江大学物理系时就听说曾有一位浙江大学物理系的博士发现可以在简单的数学过程上推导出广义相对性理论的结果。我是很相信这方面的事情是完全有可能的。当然事情最后还是像很多人的结局一样，那位博士的发现并没有引起很多人们的兴趣。人们的担心或许是多余的，科学总是轻视偏离主流的灵感，应该有它的道理。科学到了能够容纳那种灵感的年代。这种灵感早迟可以在别的其他学者身上再次浮现。事实也像猜测的那样，很多学者在这一领域的确做出了各种卓有成效的探索。
光线引力红移的实验结论只有广义相对性理论预言的一半数值，这是现代很多物理学者试图建立新的理论或者试图给出修正的办法来自于实验方面的原因和理由。相反地，很多业余学者试图在这方面建立新的理论更多的是出于对相对性理论这种过于浓重的数学风格的不满意。不过，如果能够找到更好的物理方法，一个学者的思考出发点不是一件重要的事情。理论与实验出现一些不完全吻合的事情，这一点并不奇怪。有哲学家说过，理论是人们的创造，是为了适应已知的事实而构造出来的。所以，随着实验的发展，一个适合以往已知事实的理论有可能变为不适合新的实验事实而遭到修正。今天很多学者认为广义相对性理论也存在着这方面的事情。理论出现了与实验不完全吻合的地方已经被越来越多的学者注意到。广义相对性理论获得实验验证以来，经过了半个多世纪，天文学有了更多的观测资料，很多新的实验现象无法在两个相对性理论上做出圆满的解释。很多学者认为虽然引力红移现象获得了证实，但是出人意料的是引力红移的规律却并不符合广义相对性理论的结果，却反而符合Newton理论的结果。当然人们为这一问题给出的修正方法或者因此而建立的新理论有着许多种思路，不过也有几个学者采用比较简单的方法即引入附加引力的办法。诚然，如果容许学者做各种各样的猜测和前提假设，如意地解决这方面问题的方法思路肯定是有的，而且可以肯定会有意想不到的很多种方法。人们引进附加引力的方法比起极其抽象的时空弯曲概念来形象得多也简单得多。不管怎么说，科学能够发现更为简单的方法总是一个进步，而且这方面的方法就其解决的结果和就其局部领域问题而言也都是比较令人满意的。但是我还是注意到引进附加力的方法同样给维护科学理论的完整统一性方面所带来的一些副作用，即随便引进附加力带来的对于动量守恒定律和角动量守恒定律的破坏。或许是由于问题本身的困难我们只能采用引入附加引力的做法。一般地，现代物理学多少依赖于抽象性的方法，引力红移的确完整地表现为符合Newton理论的规律，却很少发现有学者愿意完整地回到Newton的方法。但是我想这方面的很多专业学者如果能够坚信这样一种哲学信念，坚信非常物象中的形象图景的存在，我想导致光线在引力场中的超常偏折以及水星近日点的43 "剩余进动的真实原因是可以找到的。
一直来，我也总是觉得行星的运动是一个比较复杂的问题，一个机械工程师压根儿不知道天体物理学家们说的是怎么一回事情，再者本人的数学功夫先天不足，一直来不敢涉足天体物理问题。只是近来网络在中国的发展，从一些学者的文章中主要是汕头大学的章钧豪教授和陈湘两位学者合写的文章中逐渐了解了这方面问题的大概。而后将自己对于这方面问题的一些理解罗列成文，作为《自然哲学的形象理论》一书的第十篇。应该承认本书作者对于行星运动问题的了解主要得益于汕头大学的章钧豪教授和陈湘两位学者合写的许多文章。
我总是觉得基于经典物理学也可以研究行星的运动问题。基于经典物理学思想和发展经典物理学方法这也是本书作者的一贯科学风格。但是这方面的工作多少是个困难问题。本文进一步讨论这方面的问题，我们的侧重点是能否回到形象时空以及经典物理方法上找到解决问题的迹象思路？我的主要方法是将现象对于经典力学方法的偏离归因于我们对于引力场转动惯量的忽视。这方面的工作虽然目前还很难彻底成功，但这是在经典物理学方法上取得的成果，哪怕是一小步的进展，都会使形象思维的学者感到兴奋。这方面的工作的优点在于与经典物理学思想方法的完全融合。

一、太阳的引力

0．引言
我想，既然很多教授学者也起而怀疑物理学中过于纯数学的方法，我们肯定是不能满足于广义相对性理论时空弯曲的方法了。那么我们面对引力场中光线的超常偏折和水星近日点超常进动等问题能否满足于很多现代学者设想的基于引入附加引力的方法之上所做的解释。如果我们也不能满足于引入附加引力的做法，那么我们能够猜想导致引力场中光线超常偏折和水星近日点超常进动的真正原因又是什么？
本文基于形象时空和经典物理学方法讨论引力场的运动和惯性以及在此基础上讨论行星运动与动态引力场转动惯性的细节关系。希望在此基础上能够解释光线在太阳引力场中的超常偏折和水星近日点的超常进动。
科学一直来在场的质量和惯性作用影响方面考虑得不多。但是，人们也曾用这种方法来解决Lorentz力对Newton定律和动量守恒定律的破坏。在也正是在这一方法的提示下，我考虑光线和行星的超常运动可能与动态引力场的拖拉作用有关。考虑如何利用引力场的转动惯性来研究光线在引力场中的偏转和水星近日点的进动问题。我觉得场是很类似于气体的一种物质组织（物态），它具有与我们所说的其它物质完全一样的质量、惯性、引力、能量等等性质。所以，我觉得场的质量和惯性这方面的影响因素对于行星运动问题值得考虑，或许只要我们考虑了引力场的质量和惯性这一影响因素以后，像水星近日点进动这类问题最后可以得到满意解释。
我希望我的文章能够引起更多学者对于形象物理方法的兴趣和信心，以及希望在不太久的时间里看到大家在这一基础上能够发现更美更好的物理思路。

1．附加引力的方法
寻找更好的引力理论的确有点困难，但是由于教育的普及学者如云，学者们在这方面也有所思路迹象的发现。不久前，我发现郑铨老先生的文章中的类似事情，即采用类磁附加引力来解释太阳引力导致的光线偏折和水星近日点的移动。最初这些文章本书作者只能偶尔零星看看，很久不能理解其意。后来汕头大学的章钧豪教授和陈湘学者也有类似方面的工作。他们合写的许多文章，对这方面的问题作了详细的解说和详细的数学分析。我开始对这方面的问题有了点了解。基于相对性理论在吻合物象方面的奇妙和魅力，我担心所有这方面的理论最后能否引起人们的广泛兴趣。但是章钧豪和陈湘两位作者文章中表现的严肃的科学态度和详细严格的数学过程使我相信这些文章必定存在着许多有参考价值的地方以及其文中指出的广义相对性理论一些不吻合实验的地方也引起我的兴趣。这也引导我将这些文章认真研究下去，并从中获得了很多教益和知识。
郑铨老学者把这方面的附加力全称为引力磁场，我在看了章钧豪教授和陈湘两位学者的文章以后，认为设想于静止物体的类磁附加力不叫做引力磁场更为合理。因为磁场本是运动电荷与运动电荷之间的作用，是联系于运动系统的场。引力磁场应该是指运动物体之间的类磁力作用。这种引力磁场在现代文献中经常提到，或者可以说是已经得到各类学者公认的一种处理方法。只是引力磁场的效应太弱，它所导致的效应不为很多学者所关注。不过，也有一组美国学者试图通过卫星陀螺实验观测引力磁场的强度。关于这方面的实验，我猜测这一实验的结果将是对现代物理学不利，它将是更多地证明经典物理学方法是正确的。本书作者将在本书的第十一篇《理论预言和实验验证》中详细讨论本书作者对这一实验的看法。
关于引力磁场方面有了这些理解以后，理解起郑铨老学者的文章就容易多了。如果容许引进附加力的做法，则这位学者的方法是比较形象的和比较容易理解的，其数学过程相对而言也不是很复杂。

2．没有必要考虑多体问题
通过学习这些学者的文章，我开始知道我当初担心水星的近日点进动是棘手的多体问题是没有必要的。其实由于行星之间的引力磁场作用很少，这个问题可以简化为只考虑水星和太阳构成的系统中能够导出水星的每百年进动值是43 "就可以了。

3．附加引力导致的困惑
我一方面为有很多学者能够把这一困难的行星运动问题做出很深的研究感到高兴，另一方面我总觉得很多问题令我陷入两难的境地。为了理解光线和行星的精细运动我们应该认为引入附加力的方法值得考虑，但是这一附加力的引入不是对于物理科学完全没有副作用的，举个例子，按照这样的方法地球上水平转动的物体将会拥有附加重量，它的重量 > Egc－2。这个结论是不是也有点太玄乎呢！
我们一方面批评现代物理学中那些过于玄虚的物理方法，而我们自己有时不免也得依赖于玄虚的方法。或许反过来想想，Einstein的想法虽然不尽玄虚，但是它的物理风格中也存在着一些值得我们学习的地方。他也许是这样考虑，在不破坏动量守恒定律和角动量守恒定律的前提下，为解释行星的运动，科学剩下的路也许只能尝试时空弯曲。只是它的方法太抽象和太复杂了，我们许多学者的方法比他的方法简单得多。
考虑经典物理学方法以及人类整个系统的实验结果，认为运动物体受到静止系统且垂直于物体运动方向的附加力作用是值得怀疑的。我想如果存在这样的附加力作用，这个附加力的大小足以为人类精密的实验仪器所捕获。比如回旋加速器中粒子如果受到附加电磁力，这会影响粒子的回旋周期，导致人们发现这一周期与理论的微小偏离。但是这一微小偏离我想人们并没有发现。另外，量子力学是精细的理论，在处理原子系统的过程中也没有发现这方面的附加力作用。

4．附加力会破坏动量守恒定律和角动量守恒定律
如果被允许引进附加的力，在这一基础上圆满地解释困惑的物象，这一点我想是可以相信的。但是我总觉得如果不能说明附加力的来源，指出施力及施力矩物体或者系统，这种附加力是不能令人信服的。另一方面，我们知道，力是与冲量和动量有关的概念。一般的情况下，随便引进垂直于运动方向的附加力，会破坏动量守恒定律和角动量守恒定律，比如，Lorentz引进Lorentz力也曾存在与Newton第三定律以及动量守恒定律的不和谐问题。所以严格地说，这类力作用应该考虑场的质量和场的惯性因素。而这方面的问题总是为很多兴趣于研究这方面问题的学者所忽视。

5．来回震荡的激光的重量问题
我们也考虑一个工作中的激光管，管中充满着沿管子来回反射的激光。现在我们考虑激光管以及其中的来回反射的激光构成的一个新的动态物质系统，我们称它为激光管系统。由于来回反射的激光的动态重量导致了激光管系统的重量比不工作的激光管的重量稍微大一些。我想大家对于这一说法不会有什么异议，那么对于这样一个工作中的激光管而言，我们是否要认为激光管系统的重量与其激光管是垂直放置或者是水平放置有关呢。这是这样一个问题，垂直来回反射的激光在宏时空上的重力效果是mg，大家的结果是一致的。如果我们引进附加引力认为水平运动的光子受到的引力不是mg，而是2mg，那么垂直放置的激光管系统的重量是mg + Mg，而水平放置的激光管系统重量2mg + Mg。由于重量差别实际上很小，实验无法验证。但是我们相信大多数人从理论上无论如何倾向于相信工作中的激光管的重量与激光管的放置角度无关。

6．引力与电磁力之间的相似性问题
很多人喜欢于谈论光的动质量和静质量，其实静质量可以由动质量来构成。比如这里的所说的激光管系统的静质量和重量包括了来回反射的激光的质量和重量。如果来回反射的激光的重量性质与运动方向有关，我们就会得出激光管的重量与激光管的放置角度有关这样的结论。科学的困难的事情实在不少，这里我们如果随便引进一个附加力，从局部问题来说可以很好地解释物象。可是放到整个物理学来考虑，则又引出另外的不少问题。引力是与电磁力极为相似的力，电磁力没有这方面的附加力，给引力添加这样的附加力将会破坏这两种长程力之间的相似性。反过来，如果我们坚信这两种长程力之间的必然相似性，那么我们可以尝试在电磁力中寻找类似的附加电磁力。章钧豪和陈湘的文章也提到电磁力没有这样的附加力，比如直线加速器或回旋加速器中的电子受到的电磁力情况与经典电磁学方法计算结果吻合。如果容许引进附加力，水星近日点进动问题这个问题肯定是可以解决的，但是，如果这样的力在其它地方无法找到类似的力，那么这种附加力也许只是我们的一种设想。我总是想，行星绕太阳轨道进动问题也许不只是行星会有，其实如果我没有猜错的话，电子绕原子核运动也存在进动问题。只不过是很多学者喜欢把它看作电子出现在某处的概率问题。

7．运动对象导致引力场线弯曲
既然经典物理学方法明显地表明自由落体沿径向运动以及行星沿切向做正圆轨道运动时没有附加力作用。这是不是表明行星只受到经典物理学认为的力作用呢？但是从水星近日点的进动现象表明认为行星太阳系统存在经典物理学没有考虑的力作用情况也是可能的。面对这个很感为难的问题，我猜测有一种可能情形是 当行星在太阳系中做斜向运动时受力方向发生偏转，受力方向发生偏转的原因来自于引力场的转动惯性。
我们认为，引力场的转动惯性导致的效果可以表现为引力场线的弯曲，事情正像孩子们玩的跳绳活动中绳子是弯曲的。其实这个问题也不难想象，如果设想行星也是被太阳用绳子栓着绕太阳做椭圆轨道运动。那么这根绳子能否总是保持平直呢？根据简单的力学知识，我们不难理解到绷紧的绳子在做加速运动时不是完全平直的。
最初，我也考虑动力传递的时差效果，可能会影响行星的受力方向。比如，光线受到太阳的引力作用，这方面的时差效应可能就相当明显。
比如考虑时差效应，光线从A点运动到B点时，这一过程是无法让太阳同时感觉到的。所以此时光线受到太阳的引力方向认为是沿BO方向只是我们的假设。设点D，让AB = AD，那么光线从A点运动到B点时，DO段的引力场线应该还没有受到影响。
为了引力线的连续，我们引进弯曲的引力线概念。于是我们试画光线到达B点时的光线与太阳之间连接的引力线：
所以，我们认为此时此地光线受到太阳的引力作用方向更确切一点地说是指向D点。我们由此所获得的观点是 运动中的行星受到太阳的引力方向并不总是正正指向太阳中心。
光线走近太阳情况，由于引力场的感应时差和惯性效应反应滞后，导致光线受到太阳的引力作用方向向着运动方向的垂直方向偏转。光线飞离太阳的情况，由于引力场的飞速转动的惯性，引力场线超前弯曲：
光线受到太阳的引力作用方向也是向运动方向的垂直方向偏离。
光线受到太阳的力作用是不是与光线的运动方向严格垂直的呢？光在运动方向不存在加速现象和被加速的效果。从这一点上看，认为光的受力作用方向总是垂直于光波运动方向也不是完全没有道理。但是根据这一模型，假定光波受力的大小依旧按照经典物理学方法计算，则可以得到的光波在引力场中的偏转角度为
π GM / c 2 p 。
应该说这是引力场充分发挥效果的一种结果了。这一结论是否更加真实地反映了太阳引力作用的实际情况，本书作者还在做进一步的考查。当年Eddington先生观测的光线飞过太阳附近的偏折角度平均值为1.64 "，比理论就略为小一些。而且这还可能没有考虑因于太阳粒子辐射以及光辐射的密度变化导致的光线折射因素的影响。

 8．附加力只在行星做斜向运动时产生
光线的受力大小按照经典物理学的处理办法，光线的受力方向与光波运动方向垂直，这一方法也不是没有问题的。那就是光波冲着太阳中心运动或太阳自身的辐射光线这两种特殊的情况下受到的太阳引力的附加力不知道该是怎么一个处理办法。按理说来，这种情况光线受到太阳的附加引力应为零。
后来我隐约地想到这方面的问题，附加力可能仅当行星在太阳系中做斜向运动时才产生。但是，本书作者一般不满意于随便引进附加力的做法，所以我把附加力的产生归因于引力场的转动惯性。
我们认为引力场是很类似于气体的一种物质组织（物态），它具有与我们所说的其它物质完全一样的质量、惯性、引力、能量等等性质。这方面的问题在本书的第三篇《物质论》中有详细的阐述。
如果认为附加力是由于引力场转动惯性的作用，这方面很多不是很如意的问题也许能够得到很好的解决。这里所说的引力场是指联系于特定行星与太阳之间的那部分特定引力场。这部分引力场可以随着行星的运动而转动，做功以后可以成为行星的组成部分，行星远离时引力场又可以回到太阳系空间跟着行星转动。一个行星如果沿正圆轨道绕太阳运动，引力场也是跟着行星匀速转动，行星受到引力场转动惯性的拖拉力为零。这样行星沿正圆轨道运动完全回到了经典物理学处理方法。一个物体如果沿着与太阳中心的连线方向做自由落体运动，这时引力场处于没有转动的情形之下。物体同样没有受到引力场转动惯性的牵动作用，所以经典物理学处理自由落体问题的方法本也是正确的。考虑行星沿着椭圆轨道绕太阳运动的情况，我们知道，处于近日点时的引力场转动角速度与处于远日点时的引力场转动角速度是不一样的。所以，行星离开近日点和远日点这两个特殊的点，联系于行星与太阳的引力场存在转动角速度的变化。引力场角速度变化的动力应该是来自于行星的牵动和拖拉。同样，反过来，行星这一斜向运动时受到的附加力也是来自于引力场转动惯性的拖拉和牵动。所以，所谓的附加力，其实是引力场转动惯性导致的真实力作用。行星运动的受力的确不完全像是经典物理学方法所描述的那样，但是意外的情况是这一来自于引力场转动惯性的力作用只有当物体斜向运动时才发生。

9．引力场定域于何处？
既然我们猜测新颖的受力图景是来自于引力场转动惯性的作用。那么我们就得对于引力场应该进行深入一点的研究。我们需要考虑引力场的如何分布，如何定量描述等等问题。
对于特定的问题，如水星的运动，引力场其物质和能量定域于何处？当然这多少是个困难问题，但是我们可以拿正负电荷系统中的电场能定域模型应用于太阳引力这个问题，认为引力场物质和能量主要定域于太阳和行星之间。作为简单模型，我们先将引力场质量定域于太阳和行星的连线上来考虑。也就是说我们的最初模型是将在太阳和行星之间放一根拥有质量和惯性的“橡皮筋”来代替原来抽象的引力场，以此来解析水星的运动，看看是否得到一些结果。也许这一模型也不能得到满意的结果，但是这一模型应该是符合科学的唯物精神的以及其得到的结果也至少部分反映了客观作用过程。

10．引力场运动分布的简明模型
对于运动的系统，引力场是静止的还是运动的？联系于行星与太阳的引力场会不会随着行星的运动而运动？虽然在此之前人们很少考虑这个问题，但是既然认为行星与太阳之间的引力是因于之间的引力场，那么变化的结果应该由变化的原因所引起的，所以我们应该认为联系于太阳和行星的引力场是跟着行星一起运动的。形象地说，行星是被太阳用绳子栓住绕太阳做椭圆轨道运动，在这里，好像没有什么理由绳子不随物体一起运动。

11．引力场的质量和简单模型上的转动惯量
对于引力场质量的计算我们还是采用能量方法，联系于行星的引力场定域于r和 ( r + dr ) 之间的引力场质量是
dm = ( GMm / c 2 r 2 ) dr 。
解得这部分引力场物质的转动惯量为
 r 2dm = ( GMm / c 2 ) dr 。
利用星体质量变化很小以及把太阳近似为质点可以近似积分得到联系于太阳与行星之间的引力场物质组织的转动惯量为
GMmrc－2。
不过，这一结果通过计算机演示水星运动的程序验证只能导出每百年水星近日点进动值为14.3 "（本书作者的程序是由AutoLISP语言写成，计算过程同时可以演示水星的运动，见本篇《水星的运动》一节）。所以，这不是一个令人满意的结果。本人的模型不够精细是值得继续考虑。面对这种情况，我一方面考证实验数据，一方面着手改进物象模型。将引力场质量集中在行星与太阳的连线上，这个方法不能令人满意。这一方法得到的引力场转动惯量是GMmrc－2，如果行星近日点进动每百年数值是43 "没有异议，则反过来说明要求引力场的转动惯量是3 GMmrc－2。在不能肯定原因的情况下我也着手改进联系于行星与太阳之间的那个引力场物质运动分布的模型。

12．引力场的能量和质量
我们进一步的方法思路是根据引力场能量的分布来推求引力场质量的分布。引力场的能量和质量问题可以参考电磁场能量和质量的计算方法。这方面的观点很少有异议，即更多的电磁场能量和质量定域在电磁场强度大的地方。根据电磁知识，电场能量密度算式为，
μ e = E 2 / 8π k ，
其中E为电场强度，k为Coulomb常数。由这一算式我们不难发现这样一个结论，与那部分电场对应的能量就定域在那个电场所在的地方，且能量密度与场强度成平方正比。由电场能量密度算式可得电场质量密度算式
ρ e = E 2 / 8π k c 2 。
其中c为光速。类似地，我们可以相信通过推导也可以得到引力场的密度算式：
ρ g = E 2 / 8π G c 2。
引力可能是一个空域场，引力弱的地方是物质多的地方，引力强的地方是物质少的地方。引力是什么性质的场对于引力的转动惯性计算也许不是主要的问题，我们暂不在这里展开讨论。

13．行星运动导致的太阳系空间引力场质量密度如何变化
我们并不关心太阳和行星系统的引力场物质如何分布，我们关心的问题是联系于太阳和行星的引力的那部分引力场物质的如何运动分布。与这个问题比较接近的问题是行星的运动导致太阳系空间引力场密度分布如何变化。
根据场的质量密度与场的强度的非线性变化，行星与太阳的引力场合成以后的质量密度，减去太阳和行星的本份引力场密度，剩下的引力场质量密度我认为即是联系于太阳与行星之间的引力场密度。据此计算以太阳行星系统的动态引力场质量：
m d  = ∫∞{ [ ( g M + g m ) 2 － ( g M ) 2 － ( g m ) 2 ] /  8π G c 2 }dV
= ∫∞ ( g M g m / 4π G c 2 ) dV。
注意加速度g为矢量。行星离恒星无限远时动态引力场质量为零。行星离恒星距离为r时引力做功 GMm / r，这部分能量假设以动态引力场方式存在于系统中，得动态引力场质量GMm / rc 2，因此有，
∫∞ ( g M g m / 4π G c 2 ) dV = GMm / rc 2。
由dV = 2π ρ 2 sinθ dθ dρ 代入得，
( 1 / 4π )∫∞ ∫0 π g M g m ( 2π ρ 2 sinθ dθ dρ ) = GGMm / r。
将矢量写成标量形式
( 1 / 4 )∫∞∫0 π ( g M x g m x + g M y g m y )  2 ρ 2 2 sinθ dθ dρ = GGMm / r。
将
g M x = GM cos θ / ρ 2 ，
g M y = GM sin θ / ρ 2 ，
g m x = G m ( ρcos θ － r ) / ( ρ 2 + r 2 － 2ρr cos θ ) 1 . 5 ，
g m x = G m ρ sin θ / ( ρ 2 + r 2 － 2ρr cos θ ) 1 . 5 ，
代入g M x g m x + g M y g m y  计算得到
g M g m =  GGMm (  ρ － r cos θ ) / [ ρ 2 ( ρ 2 + r 2 － 2ρr cos θ ) 1 . 5 ]。
代入上面算式整理得到
( 1 / 4 )∫0∞ ∫0 π  
( (  ρ － r cos θ ) / ( ρ 2 + r 2 － 2ρr cos θ ) 1 . 5 )  2 sin θ dθ dρ = 1 / r。
令 ρ = pr ，于是有
( 1 / 4 )∫0∞ ∫0 π  
[ (  p － cos θ ) / ( p 2 + 1 － 2p cos θ ) 1 . 5 ]  2 sin θ dθ dp = 1 。
此式可以验算计算机积分程序。
现计算以恒星为转点的转动惯量：
I = ∫∞ | 2 g M g m /  8π G c 2 | [ f ( ρ ) ]  2 ( cos 2 θ + sin 2 φ sin 2 θ ) dV，
I = ( 1 /  4π G c 2 )∫∞ | g M g m | [ f ( ρ ) ]  2 ( cos 2 θ + sin 2 φ sin 2 θ ) dV，
将g M g m =  GGMm (  ρ － cos θ ) / ( ρ 2 + 1 － 2ρ cos θ ) 1 . 5 连同dV = ρ 2 sinθ sinφ dφ dθ dρ代入整理可得
I = ( GMm / 4c 2 )∫0∞ ∫0 π  [ f ( ρ ) ] 2
[  | r cos θ － ρ | / ( ρ 2 + r 2 － 2ρr cos θ ) 1 . 5 ]
  ( 1 + cos 2 θ ) sin θ dθ dρ。
由于这一积分进行数学上推导超出了本书作者的数学能力。所以本书作者是借助于计算机程序进行工作的。
为了计算处理的方便以及提高一点运算速度，令 ρ = pr ，于是有
I = ( GMmr / 4c 2 )∫0∞ ∫0 π  [ f ( p ) ]  2
[  |  cos θ － p | / ( p 2 + 1 － 2p cos θ ) 1 . 5 ] ( 1 + cos 2 θ ) sin θ dθ dp。
设I = AGMmrc－2。我们称A为引力场转动惯量系数，
A = ( 1 / 4 )∫0∞ ∫0 π [ f ( p ) ]  2
[  |  cos θ － p | / ( p 2 + 1 － 2p cos θ ) 1 . 5 ] ( 1 + cos 2 θ ) sin θ dθ dp。
可以通过编制计算机程序来求解这一积分值A，程序见本篇附件。
为什么说合成引力场的物质密度减去行星和太阳的本份引力场密度就是联系于行星与太阳之间的引力场物质密度？在这里我们关心的问题是能够跟着行星转动的那个引力场物质运动组织分布的密度，或者说我们关心的问题是随着行星的运动空间里的引力场密度如何变化，这是因为密度变化是物质运动的结果，物质的运动可以通过密度的变化来间接计算。我们需要解决的最后问题是计算牵动行星转动的那部分引力场的转动惯量。那为什么又要减去行星的本份引力场部分呢。这部分引力场也是跟着行星转动的呀！请大家注意本份引力场就自身而言只是在跟着行星做平动运动，而没有转动，这个是问题的本质。而且这部分引力场在计算行星的质量和惯性的时候已经考虑了，在引力场转动问题上没有必要做重复的计算。另一方面，行星的运动与行星的质量无关，也与行星在运动过程中的质量变化无关，计算行星的运动问题可以不考虑行星运动过程中的质量变化现象。
事情也并不是跟着行星运动的物质都会给行星在转动方向产生拖拉力，而最后导致行星的近日点产生进动。如果这部分引力场完全跟着行星运动作为行星动态物质系统的一部分。我们就可以不考虑行星作为动态物体动态质量对于行星运动的影响。所以在这里，我们只须考虑物体本份引力场以外的引力场物质密度的运动分布以及其密度分布变化产生的惯性作用。
在这里联系于行星与太阳之间的引力场概念可能容易产生误解，但一时又想不出更合适的说法。先说说何谓本份引力场？所谓本份引力场是那些引力场，与那个物体主体不可分离的那部分引力场。所以行星的本份引力场是物体的物质组成部分。它的运动轨迹与行星的运动轨迹完全相同，随同行星做同步的阵列运动或者如同行星的卫星伴随行星一起做椭圆轨道运动。这部分本份引力场是物体主体不可分割的组成部分，正像一个人的四肢与那个人的关系那样不可分割。正因为本份引力场完全是行星或是太阳的组成部分，它不是这里所讨论的问题所关心的对象。而联系于行星与太阳之间的那部分引力场则是一个动态的引力场。它时而参与运动行星作为行星的一部分组成部分。时而从行星那儿返回到行星与太阳中间，联系着行星与太阳的引力延续。这部分引力场自由情况下的运动轨迹是与行星同步的一系列以太阳为圆心的正圆轨道。这部分动态的引力场，它与行星的关系好像是衣服与人的关系。天气冷的时候穿上它，天气温暖的时候又把它放回到旅行箱里。联系于行星与太阳之间的这部分动态引力场物质分布的转动惯性对于行星运动有着微细的影响。我们希望此种微细的影响能够很好的解释水星的近日点进动问题。
请注意算式中有绝对值符号，这是由于合成引力场存在场强变小的地方。但请注意这种情况不会导致转动引力场的转动惯量减少，相反也同样起着增加引力场转动惯量的作用。正像水体中的气泡它的惯性不可能是负值。一个物体的部分惯性也可能是由于它的附近环境导致的。我们在此将Archimedes定律还原为质量方面的定律，即 气泡的惯性等于气泡排开液体的质量以及沉浸在液体中物体所获得的惯性增加等于物体排开液体的质量 。由此不难理解计算引力场的转动惯量应该注意合成引力场场强减弱的问题，并且把这种情况导致的引力场转动惯量增加统计进来。

14．比较合理的引力场转动模型
开始假设  f ( p ) = p经过一些时间的研究以后发现这一积分好像不能收敛，无论如何应该加以改进。问题的原因是这部分引力场不能看成是一个转动刚体。的确，包括引力场的各种场应该是一种气体，如何能够看成是转动刚体呢。但问题是，转动引力场不是刚体转动，又是什么样一种旋涡运动呢？在这里，计算机的计算方法派上了用场，可以免去各种猜测下烦琐的积分演算过程。发现一个错误的猜测耗费了烦琐的积分演算过程是令人无可奈何的。这种情况下，你编好了程序以后，计算机可以不厌其烦地帮助你工作。多次运行程序发现引力场的转动惯量主要贡献来自于轨道以外空间的引力场质量。设想不同的引力场运动分布模型可以得到引力场转动惯量的不同大小。现在的问题是我们可能不知道水星运动可靠的观测结论。但不管真实的观测结论如何，可以相信经典力学通过考虑引力场的转动惯性是有办法有模型可以很好地解释水星的近日点进动这类问题的。
在p < 2.5 的情况下，引力场的运动分布可以看作一个刚体。在p > 2.5的情况下，引力场以行星的2.5 倍速率跟着行星转动。在这一模型下能够比较满意地得到引力场的转动惯量为I = 3 GMmrc－2。但是我们很难肯定这就是实际的引力运动情形，越远处的引力所受到行星运动的影响越少，远处的引力场可能没有环向速度而只有径向速度，即远处的引力场密度变化可能是通过引力场的径向运动实现的。考虑系统的质心并没有变化，系统内部的行星运动对于无限远处的引力实际上没有影响。也就是说随着距离的增大，远处的引力随行星运动的速度趋于零。假设更细致的引力运动分布规律为
f ( p  ) = ( 6*6 + 1 ) p / ( p 2 / + 6*6 )
也可以得到引力场的转动惯量为I = 3 GMmrc－2。
当然，如果能够在理论上推导出引力场的运动分布模型，那就太好了。这方面的工作希望得到广大学者的帮助。
这里我们假定了某些地方动态引力场可以数倍于行星的运动速度运动，其实动态引力场不可能在恒星和行星的基态引力场中穿行。动态引力场的转移是通过影响基态引力场的转移实现的。由于基态引力场密度远远大于动态引力场密度，动态引力场造成的基态引力场运动飘移速度远小于行星的运动速度。仅此说明。

15．光线在太阳引力场中的偏转
也许引力场的运动分布模型这个问题是一个死胡同问题。现在我们转到光线在太阳引力场中的偏转问题。水星的近日点进动问题要求引力场的转动惯量算式是3 GMmrc－2，看看这一要求是否与光线在太阳引力场中的偏转问题吻合。
根据 Kepler 面积定律得到 v t r = 常数，求微分得 r dv t + v t dr = 0 ，除以dt 得角加速度dv t / dt = － v t v  r / r 。我们认为行星角环向加速度算式对于光波的运动同样有效。设光子的质量为 m，速度为 c，太阳的质量为 M，引力场受到光子的作用力矩为
F ' r = d ( I v t / r ) / dt = d ( 3GMm v t / c 2 ) / dt = 3GMmd v t / dt c 2 ，
将dv t / dt = － v t v r / r 代入得到
F ' r  =  － 3GMm v t v r / c 2 r ，F ' =  － 3GMm v t v r / c 2 r  2，
则引力场转动惯性对光子的拖拉力作用
F =  3GMm v t v r / c 2 r 2，
在光波垂直方向的分力为
F x = － 3GM sin 2 θ cosθ / r 2，
光子沿X方向的加速度为
d v x / dt = － 3GM sin 2 θ cosθ / r 2，
对时间t积分可写出经过引力场转动惯性作用后光子取得的X方向的速度为，
v x  = －∫－∞+∞  3GM sin 2 θ cosθ / r 2 dt
经过dθ = c cosθ dt / r和r = p / cosθ变换后，得
v x  = －∫－ π / 2 + π / 2  3GM sin 2 θ cosθ / c p dθ
于是求得偏转角为 α 1 = v x / c = － 2GM / c 2 p 。这是引力场转动惯性贡献的部分。再把光子受到太阳径向引力所产生的偏转角经典力学的结果：
α 2 = － 2GM / c 2 p
加以考虑加以计算，则得到总偏转角为
α = α 1 + α 2 = － 4GM / c 2 p。

16．结论
看来引力场的转动惯量算式是3 GMmrc－2，比较接近我们所期望的值。

17. 附件：计算引力场转动惯量系数的程序

    (DEFUN SSIGMA(A B PH D / S M PHE PHR R )
      (SETQ R (+ A D ) M (－ B D ) PHR (PH A ))
      (IF (< R B ) (SETQ PHE PHR PHR (PH R ) S (* D (+ (PH A ) PHR ))))
      (WHILE (< R M ) (SETQ D (* 1.01 D )
         R (+ R D ) PHE PHR PHR (PH R ) S (+ S (* D (+ PHE PHR )))))
      (* 0.5 (+ S  (* (－ B R ) (+ PHR (PH B )))))
    )
    (DEFUN SIGMA(A B PH D / S I M R )
      (SETQ R A M (－ B D ) I D S (* 0.5 D (PH R )) R (+ R I ))
      (WHILE (< R M ) (SETQ I D S (+ S (* D (PH R ))) R (+ R I )))
      (+ S (* 0.5 I (PH R )) (* 0.5 (－ B R ) (+ (PH R ) (PH B ))))
    )
    (DEFUN PHI(Q / LL R )
      (SETQ R (/ (* 37.0 P ) (+ (* P P ) 36.0 ))) ; (IF (< P 2.5 ) P 2.5 ))
      (SETQ SINQ (SIN Q ) COSQ (COS Q ) LL (－ PP1 (* 2P COSQ )))
      (* R R (/ 1.0 LL (SQRT LL ))
        SINQ (1+ (* COSQ COSQ )) (ABS (－ COSQ P )))
    )
    (DEFUN RHI(P / 2P PP PP1 )
      (SETQ 2P (+ P P ) PP (* P P ) PP1 (1+ PP ))
      (PRINC P ) (PRINC " " ) (SIGMA Q/2 (+ PI Q/2 ) PHI DQ )
    )
    (SETQ DQ (/ PI 360.0 ) Q/2 (/ DQ 2.0 )
          K1 (SIGMA 0.005 0.995 RHI 0.01 )
          K2 (SSIGMA 1.005 100.0 RHI 0.01 )
    )
    (PRINT (LIST " K1 K2 K K/4 = " K1 K2 (+ K1 K2 ) (/ (+ K1 K2 ) 4.0 )))

二、行星的运动

科学是人们对于真理的追求过程，科学家在这一过程中由于各种原因导致错误的产生是难免的。如果我们生活在2000年前，我们也不免会得出行星运动在偏心的圆周上。其实行星们的运动图像咋看起来的确很像偏心圆的图像。
物理学至目前为止也还不能不能像几何学那样，建立几条公理然后演绎出整个物理学。物理科学也许只能做到这样，理论多少需要依赖一些已知的实验事实才能构造出来。没有水星运动的精细观测结果，那个广义相对性理论不可能确定那个最后的形式。但是面对已知的物象结论，通往理解的道路不只一条。这就难免产生不同的科学方法和科学风格、不同的科学思想和科学哲学。
行星的运动是一个经典问题，今天我们在这里重新考虑这个问题，有什么新的好的思路呢。我们所做的工作总是基于形象的科学风格，即改进经典物理学的物象模型，希望在新颖的物象分析方面能够给出一个简明的数学系统，以此说明现代物理学中许多类似于Ptolemy系统的抽象烦琐的数学方法是没有必要的。我想尝试一下，如果我们把引力场的运动和质量考虑进去，会不会如意地解决水星的近日点进动问题。遗憾的是我在此并没有满意地解决了这方面的所有问题。本人写这方面的文章的目的是希望起到一种抛砖引玉的作用。当然我也希望就此得到令人满意的结果，也许这一美好理想有待于更多学者的共同参与才能够实现。

1．关于行星运动经典物理学方法的极坐标微分方程
如果行星运动没有太阳的引力，它将因于惯性做匀速直线运动，在极坐标描述方法下，存在离心加速度和切向加速度
dv r / dt = v t 2 / r ， dv t / dt = － v r v t / r，
由此得到行星运动的经典极坐标微分方程组
dv r / dt = v t 2 / r － GM / r 2， dv t / dt = － v r v t / r。

2．关于行星运动简单引力模型上的极坐标微分方程
引力场随着行星转动存在转动角加速度 － v r v t / r 2。
根据最初简单模型上推导出的联系于行星与太阳之间的引力场的转动惯量 GMmrc－2，引力场受到行星的作用力矩为，
F ' r = d ( I v t / r ) / dt = d ( GMm v t / c 2 ) / dt = GMmd v t / dt c 2 ，
将dv t / dt = － v t v r / r 代入得到，
F ' r  =  － GMm v t v r / c 2 r ，F ' =  － GMm v t v r / c 2 r  2。
则引力场转动惯性对行星的拖拉力作用，
F =  GMm v t v r / c 2 r 2。
考虑引力场的转动惯性对于行星的切向作用 dv t ' / dt  =  GM v r v t / c 2 r 2 ，将行星运动极坐标微分方程修正为，
dv r / dt = vt 2 / r － GM / r 2，
dv t / dt = － v r v t / r + GM v r v t / c 2 r 2 。
考虑引力场的转动惯性，行星和动态引力场构成的系统角动量守恒也可以推出，
dv t / dt = － v r v t / r + GM v r v t / c 2 r 2 。

3．关于行星运动我们根据观测结果所希望的极坐标微分方程
将这一微分方程编成计算机程序可以演示水星的运动。不过得到的结果是每百年进动14.3 "而不是43 "。如果水星每百年进动值的确是基于360分度的43 "，说明我们所希望的引力转动惯量值应该是 3 GMmrc－2，而不是 GMmrc－2。以及相应的行星受到引力场转动惯性的拖拉力为
F  =  3 GMm v r v t / c 2 r 2。
相应的行星运动微分方程应该是
dv r / dt = v t 2 / r － GM / r 2，
dv t / dt = － v r v t / r + 3 GM v r v t / c 2 r 2 。
这一方程通过计算机程序演算导出的结果是水星进动角度为0.103448 "，每百年进动值也是43 "。
本篇初稿写于 2000年11月，在此后的很长时间里，我有个愿望，关于行星进动希望能够得到属于本书作者自己的规律。但是建立引力场的运动理论困难不少。引力场的转动惯量不能从理论上满意地推导出是3 GMmrc－2，这方面的工作至今还不能令人满意。另外在随后的几年里还有两个很深的顾虑，导致这方面的工作此后没有继续展开。一是怀疑水星剩余进动数据是否可靠，同时认为随着行星轨道趋近于圆进动亦趋近于零。我的想法是，行星的轨道趋近于圆，行星的动态引力场转动也趋于匀速，引力场非匀速转动造成的拖拉力也趋于零，行星轨道近日点进动亦趋近于零。也就是说作者一直来非常怀疑以往学者关于行星进动的各种理论和数据。但是近来我逐渐相信了水星每百年43 "剩余进动数据，然后利用计算机程序演算水星轨道偏心率变化水星剩余进动变化的规律。行星轨道趋近于圆而进动不趋近于零的结果使我感到意外。经多个离散的偏心轨道剩余进动演算数据总结得到的行星进动规律是 Δφ = 6π GM / c 2 r 0 ( 1 － e ) 。由于把水星的远日距离与水星轨道的半长径混淆，误认为得到了与广义相对论不一样的行星进动规律。后来发现这一规律与 Δφ = 6π GM / c 2 a ( 1 － e 2 ) 规律是等效的算式。利用离散的偏心轨道剩余进动演算数据，行星进动规律是找到了，但实际上不是新的规律，而只是得到和过去理论相同的理论结果，这是完美结果还是美中不足，很难做出结论。但是如果这是上帝的安排，我们无论如何应该乐于接受。不同的思路也可以得到相同的结果，这并不奇怪，但是如果我们的确是找到了更好的思路，我们总可以得到一些更好的结果。正因为如此，新的进动规律将在双星进动问题上显示出来。这也为科学通过实验数据鉴别思路的好差提供可能。

4．行星进动规律新的数学推导过程
现在我们希望在新的朴素思路上也能够以算式推导方式得出 Δφ = 6π GM / c 2 a ( 1 － e 2 ) 这一算式结果。曾有郑铨老先生在这方面做过很多研究，现在模仿老先生的数学思路推导行星轨道进动规律。
郑老先生使用的行星摄动方程
dφ / dt = [ ( 1 － e 2 )0 . 5 / n a e ] [ F r / m + ( F t / m )( 1 + r / p ) sin θ ]。
我至今弄不清楚其中 n是什么参数，通过分析老先生的推导过程，知道n = K a3 / b3 p 2，（p为轨道极坐标方程r = p / ( 1 + e cos θ )中的p）。设( 1 － e 2 )0 . 5 / n a e = A，有A = p 2 a / K e b 2。现在将行星摄动方程简写为
dφ / dt = A [ F r / m + ( F t / m )( 1 + r / p ) sin θ ]，
其中 K = v t r，是行星运动的速度矩常数（或者通俗地说是面积常数），将F  t  =  3 GMm v r v t / c 2 r 2、F r  =  0代入得到，
dφ / dt = ( 3 AGM / c 2 ) [ ( v r v t / r 2 ) ( 1 + r / p ) sin θ ]
dφ / dt = ( 3 AGM / c 2 ) [ ( v r v t / r p ) ( p / r + 1 ) sin θ ]
考虑行星的轨道方程，r = p / ( 1 + e cos θ )，p / r = 1 + e cos θ ，p / r + 1 = 2 + e cos θ ，代入其上算式得到，
dφ / dt = ( 3 AGM / c 2 ) [ v r ( r dθ / dt ) / r p] ( 2 + e cos θ ) sin θ ，
消去 dt 得到
dφ  =  ( 3 AGM / c 2 ) [ ( v r / p )( 2 + e cos θ ) sin θ ]dθ，
行星绕恒星一周的进动角度
Δφ  =  ( 3 AGM / c 2 )∫2π  [ ( K e sin θ / p 2  ) ( 2 + e cos θ ) sin θ ] dθ
          =  ( p 2 a / K e b 2 ) ( 3 GM / c 2 ) ( 2π  K e / p 2 )
       =  6π GM / c 2 a ( 1 － e 2 )。
根据过去的行星摄动方程和新的拖拉力算式也可以得到与过去理论相同的结果 Δφ = 6π GM / c 2 a ( 1 － e 2 ) 。在这里，我们提供了关于水星剩余进动问题一种更为朴素的思路。如果能够详尽的说明行星动态引力场转动惯量为I = 3 GMmrc－2，那么可以说这样的思路是非常完美的朴素思路。

5．双星进动问题
2000年，本书作者在中国台湾崔思珑博士的文章中了解到，世纪之交双星进动问题困扰着天文学界。说的是美国宾西法尼亚州Villanova大学的两位天文学家Edward . Jonan和Frank . Marony根据84年中观测到的3000多个轨道历史数据分析该双星运行规律，计算出其累积进动值仅为0.64度，而按照广义相对论理论公式计算，得出的理论进动值为2.34度。浩瀚的天文实验资料文献，什么结论都有，其中有我们的科学理论不能解释的东西，应该完全在人们的意料之中。近来试图在朴素的模型上解决这一问题。
在计算行星运动动态引力场转动惯性的时候，我们认为动态引力场是围绕着恒星转动。显然精确地说，动态引力场是围绕着系统的质心转动，只是一般而言行星对于恒星质量显得微乎其微，我们近似的把恒心当作系统的质心进行处理，在满足计算精度要求的情况下可以认为获得方法上的成功。但是对于双星问题，显然我们应该回到基于系统质心来考虑问题。当然这会增加问题的复杂性。我们将以系统质心为基点来建立坐标系，重新考虑动态引力场的转动惯量。
根据前面行星动态引力场转动惯性的算式
I = ( 1 /  4π G c 2 )∫∞ | g M g m | [ f ( ρ ) ] 2 ( cos 2 θ + sin 2 φ sin 2 θ ) dV。
现以双星系统的质心为转点重新计算：

有基础算式
g M x = GM ( ρcos θ + R ) / L3  ，g M y = GM ρ sin θ / L3  ，
g m x = Gm ( ρcos θ － r ) / l 3 ，g m y = Gm ρ sin θ / l 3 ，
L = ( ρ 2 + R 2 － 2ρR cos θ ) 0 . 5，l = ( ρ 2 + r 2 － 2ρr cos θ ) 0 . 5
由g M g m = g M x g m x + g M y g m y  得到，
g M g m = GGMm [ ρ 2 + ρ ( R － r ) cos θ － Rr ] / ( L3 l 3 )
将此算式连同dV = ρ 2 sinθ sinφ dφ dθ dρ代入行星转动惯性算式，整理得到
I = ( GMm / 4c 2 )∫∞∫0 2π [ | ρ 2 + ρ ( R － r ) cos θ － Rr | / ( L3 l 3 )]
  [ f ( ρ ) ]  2 ρ 2 ( 1 + cos 2 θ ) sinθ dθ dρ。
（当 R = 0 时，我们回到行星的问题。）为了计算处理的方便以及提高一点运算速度，令 ρ = pr ，算式可以变为
I = ( GMmr / 4c 2 )∫0∞ ∫0 π  [ f ( p ) ]  2
{ | p 2 + p ( R / r － 1 ) cos θ － R / r | / [ ( L / r )3 ( l / r )3 ) ] }
  p 2 ( 1 + cos 2 θ ) sin θ dθ dp，
其中R / r = m / M 记作α，L / r 记作L，l / r 记作 l，
I = ( GMmr / 4c 2 )∫0∞ ∫0 π  [ f ( p ) ]  2
[ | p 2 + p ( α － 1 ) cos θ － α | / ( L3 l 3 ) ]  p 2 ( 1 + cos 2 θ ) sin θ dθ dp，
其中L = ( p 2 + α 2 － 2pα cos θ ) 0 . 5，l = ( p 2 + 1 － 2ρ cos θ ) 0 . 5。设I = AGMmrc－2。这里A为引力场转动惯量系数，
A = ( 1 / 4 )∫0∞ ∫0 π  [ f ( p ) ]  2
[ | p 2 + p ( α － 1 ) cos θ － α | /  L3 )] p 2 ( 1 + cos 2 θ ) sin θ dθ dp 。
L = [( p 2 + α 2 － 2pα cos θ  ) ( p 2 + 1 － 2ρ cos θ )] 0 . 5 。
此算式告诉我们平衡质量的双星（M = m，α = 1）动态引力场球状对称，环向均匀分布，所以我们认为双星绕转而动态引力可以保持不动。或者说平衡双星的动态引力场转动惯性为零，即我们认为平衡双星没有轨道进动。假设不平衡双星的动态引力场转动惯性I ≈ 3 ( 1 － α ) GMmrc－2，m星按质量反比例分到的转动惯性，
I  m ≈ [ M / ( M + m ) ] I，
 = 3 ( 1 － α ) [ M / ( M + m ) ] GMmrc－2，
 = 3  [ ( 1 － α ) / ( 1 + α ) ] GMmrc－2。
现在将双星运动化为行星运动的问题，这个问题基本上相当于m星上的部分小质量受到系统质心的引力作用。这个行星恒星系统称为等效系统，其中恒星质量为M x，行星质量为m x << M x 。那么现在根据引力场转动惯性与进动角度成正比的关系求进动角度
  Δφ ≈ 6π GM x / c 2 a ( 1 － e 2 )
{ 3  ( 1 － α ) / ( 1 + α )  GM m x rc－2 } / ( 3 G M x m x r c－2  )，
Δφ ≈  [( 1 － α ) / ( 1 + α ) ] 6π GM / c 2 a ( 1 － e 2 )。
根据转手的某组 DI . Herculis双星进动数据计算84年累计进动值为 0.54度，与观测值0.64度接近。考虑恒星的质量实际上是通过轨道数据推算的。我们将上面算式变换成轨道数据
Δφ ≈  [( 1 － α ) / ( 1 + α ) ] ( M / M x ) 6π GM x / c 2 a ( 1 － e 2 )。
Δφ ≈  [( 1 － α ) / ( 1 + α ) ] ( M / M x ) 24π 3 a 2 / T 2c 2 ( 1 － e 2 )。
根据m恒星处相同加速度效果计算等等效质量 M x，GM / ( r + ar ) 2 = GM x / r 2  得到 M / M x = ( 1 + α ) 2 ，代入上面算式得到
Δφ ≈  ( 1－ α 2 ) 24π 3 a 2 / T 2c 2 ( 1 － e 2 )，α = D / d 。
其中24π 3 a 2 / T 2c 2 ( 1 － e 2 )部分就是广义相对论的算式，D为主星轨道长径，d为伴星轨道长径。根据 DI . Herculis双星轨道数据，重新计算 DI . Herculis双星84年累计进动值亦为 0.54度。如果观测数据可靠，则说明动态引力场转动惯性I ≈ 3 ( 1 － α ) GMmrc－2  线性假定是一个简单的模型。重新假定I ≈ 3 ( 1 － α 1. 2 ) Mmrc－2 ，于是进动角算式修正为，
Δφ ≈  ( 1－ α 1. 2 ) ( 1 + α ) 24π 3 a 2 / T 2c 2 ( 1 － e 2 )，
Δφ ≈  ( 1－ α 2 . 5 ) 24π 3 a 2 / T 2c 2 ( 1 － e 2 )，α = D / d 。
根据 DI . Herculis双星轨道数据，重新计算 DI . Herculis双星84年累计进动值为 0.65度。

6．附件： 演示水星运动的程序

    (DEFUN MERCURY(M OP VT F YEARS
         / O9 2PI P PIN P1 C R PO OK GM GM/CC COLOUR )
      (<000> ) (<001> )
      (WHILE (NULL OK )
        (REPEAT 400 (SETQ P P1 P1 (POTCH P DT ))
          (IF (AND (> (CADDDR P ) 2.0 ) (MINUSP (CAR P1 ))
              (NOT (MINUSP (CAR P )))) (SETQ OK (EQH )))
        )(SETQ PIN (MIN PIN (CADDR P )))
        (IF (NULL OK ) (COMMAND "LINE" R (SETQ R (POH P )) "" ))
    ) )
    (DEFUN <001>()
      (SETQ G 6.6720E－11 C 2.99792458E8
          GM (* G M )  GM/CC (/ GM C C )  2PI (+ PI PI )  PIN OP
          P1  (LIST 0.0 VT OP 0.0 0.0 )  DT 20.0 
          PO '(200.0 150.0 0.0 ) O9 (/ 100.0 (CADDR P1 )) R (POH P1 )         
    ) )
    (DEFUN <000>()
      (SETVAR "CMDECHO" 0 ) (SETVAR "CECOLOR" "2" )
      (COMMAND "LINE" '(100 150 0 ) '(350 150 0 ) "" )
      (COMMAND "LINE" '(200  50 0 ) '(200 250 0 ) "" )
      (SETVAR "CECOLOR" "1" ) (COMMAND "CIRCLE" '(200 150 0 ) 5 )
      (SETVAR "CECOLOR" "4" )
    )
    (DEFUN POTCH(R DT / AR AT VR VT P )
      (SETQ VR (CAR R ) VT (CADR R ) P (CADDR R ))
      (SETQ AR (/ (－ (* VT VT ) (/ GM P )) P ))
      (SETQ AT (－ (/ (* VR VT ) P )))
      (IF F (SETQ AT (－ AT (/ (* F AT GM/CC ) P ))))
      (MAPCAR '(LAMBDA(V A ) (+ V (* A DT )))
  R (LIST AR AT VR (/ VT P ) 1.0 ))
    )
    (DEFUN POH(P ) (POLAR PO (CADDDR P ) (* (CADDR P ) O9 )))
    (DEFUN EQH( / DA A EL J RR )
      (SETQ A (－ (CADDDR P1 ) (CADDDR P )))
      (SETQ A (/ (* (CAR P ) A ) (－ (CAR P ) (CAR P1 ))))
      (SETQ A (－ (+ A (CADDDR P )) 2PI ) DA (/ (* A 3600 180 ) PI ))
      (SETQ J (/ (LAST P ) 86400.0 ) P (CADDR P ) RR (POLAR PO A (* P O9 )))
      (SETQ P (* 0.5 (+ OP P )) EL (/ (－ P PIN ) (+ P PIN )))
      (MAPCAR 'PRINC (LIST "\n行星偏心率 " EL
 "，算式进动角 " (/ (* 6.0 180.0 3600.0 GM/CC ) P (－ 1.0 EL ))
 " 秒，演算进动角 " DA " 秒，\n" YEARS " 年进动 "
 (* DA YEARS (/ 365.24 J )) " 秒，行星周期 " J " 天\n" )
      )
      (SETQ COLOUR (GETVAR "CECOLOR" )) (SETVAR "CECOLOR" "3" )
      (COMMAND "LINE" R RR PO "" ) (SETVAR "CECOLOR" COLOUR ) T
    )
    (MERCURY 1.9891E30 6.97E10 3.8937E4 3.0 100 )

7．附件： 计算双星转动惯性的程序

    (DEFUN PHI(Q / LL RH R )
      (SETQ SINQ (SIN Q ) COSQ (COS Q ) R (IF (< P 2.5 ) P 2.5 ))
 ; (/ (* 37.0 P ) (+ (* P P ) 36.0 )))
      (SETQ RH (ABS (－ PP (* A1 COSQ P ) A ))
 LL (* (+ PPA (* 2P A COSQ )) (－ PP1 (* 2P COSQ ))))
      (* R R PP (/ RH LL (SQRT LL )) (1+ (* COSQ COSQ )) SINQ )
    )
    (DEFUN RHI(P / 2P PP PPA PP1 )
      (SETQ 2P (+ P P ) PP (* P P ) PPA (+ PP AA ) PP1 (1+ PP ))
      (PRINC P ) (PRINC " " ) (SIGMA Q/2 (+ PI Q/2 ) PHI DQ )
    )
    (DEFUN ALPHA(A )
      (SETQ AA (* A A ) A1 (－ 1.0 A ) DQ (/ PI 360.0 ) Q/2 (/ DQ 2.0 )
          K1 (SIGMA 0.005 0.995 RHI 0.01 ) K2 (SSIGMA 1.005 100.0 RHI 0.01 ))
      (PRINT (LIST " K1 K2 K K/4 = " K1 K2 (+ K1 K2 ) (/ (+ K1 K2 ) 4.0 )))
    )