即使地球没有自转，重力摆的椭圆轨道也会进动！

山东章丘 马国梁

关于傅科摆的进动大家都已经耳目能详了。可你知道么？即便地球不自转重力摆的椭圆轨迹也会进动！不信你可亲自做个实验，仔细观察一下。

为什么？是的，为什么呢？原来质点在定点向心力的作用下，环形轨道的闭合条件是非常苛刻的。只有两种情况才能实现：一是向心力的大小与半径成平方反比律；二是向心力的大小与半径成正比关系。而其它情况下的轨道则不是进动就是退行，极难实现它的闭合，呈现周而复始的运转状态。

重力摆是有心运动中的一种复杂情形。重力锤的运动轨迹是立体的复杂曲线。然而不论在球面上，还是将之投影到水平面上，重锤所受的向心分力都不与半径或角度成正比，这就决定了它的轨道不可能是闭合的。从它进动的事实来看，重锤向心分力在半径较大时，力的增加最起码是减缓了。而从理论上分析，则不光是增加减缓了，而且在更远处减小了。

尽管重锤的运动轨迹复杂，但重锤在运动过程中还是始终遵循机械能守恒定律和角动量守恒定律的。我们可利用悬线的张角、水平半径的转角和球面轨道的倾角关系列出关于轨道的微分方程来，可惜无法求解，哪怕近似解也得不到。所以只能进行数值积分。

通过精确的数值积分，我们发现重锤在每个循环的水平转角确实是超过周角2π了。并总结出一个近似的进动角经验公式。

△α= 4.16β。Tg（θ。/1.74）           （ β。＜θ。＜ π/2 ）

而关于进动角的准确理论公式，笔者曾经费尽心思多方探索了好多天，最后竟然一无所获。之间虽然也曾严格推导出来过“准确公式”，然而根本经不住检验。偏差太大，最后不得不得放弃。

但笔者仍不甘心，凭着多年的经验继续进行探索。前途不一定光明，可道路确实复杂。不光要有勇气，还得靠点运气。也许只要功夫到了，运气自然就来了……

俗云：“苍天不负有心人”，这话还真是一点不假。这不，我的运气马上就来了。上苍终于可怜我这位“有心之人”了。下边我将开始顺利了。

当重锤摆幅很小时，它在最低点附近绕行，每个循环的周角是2π；但当重锤摆幅增大时，运行的轨道抬升，在球面上与轨迹相切的外圆锥的锥面角就达不到2π了，那么它被2π超越的部分不就是进动角吗？即

△α= 2π（ 1 － cosθ）      

式中θ为悬锤线l的张角。其最小为β。 ，对应椭圆的短半轴b ；

最大为θ。 ，对应椭圆的长半轴a  。

我们取整个括号的几何平均值，即

△α= 2πsqrt [（ 1 － cosβ。）（ 1 － cosθ。）]

= 4πsin（β。/2）sin（θ。/2）

数值检验的结果证明：这是一个适于任意角的全程高精公式。

当θ。一定时，如果β。= 0  则 △α= 0  说明重锤没有进动。

而当θ。=π/2 则很容易发生进动。

特别是当β。=θ。=π/2 时 △α= 2π，这说重锤的每个循环将转动2圈。

有趣的是当β。=θ。时 椭圆轨道即变成了圆形轨道。按公式计算虽然仍有进动，但却无法观测出来。哈哈哈哈！

另外我还推出来一个精度稍次的公式：

由   △α= 2π（ 1 － cosθ）= 2π[ 1 － sqrt（1 － sinθ^2）]

式中sinθ取sinβ。和sinθ。的几何平均值

即得    △α= 2π[ 1 － sqrt（1 － sinβ。sinθ。）]

可以理解，式中 sinβ。sinθ。即椭圆面积πab和大圆面积πl^2的比值。

这样即明白了当β。= 0 时，椭圆面积为0 ，为什么没有进动的道理。

关于重力摆的进动在十多年前我也研究过，但没解决。这些年也曾断断续续想过，总是不得要领。庆幸这次研究终成正果，无疑平了我多年的夙愿。甚感欣喜，欣慰！

重力摆的椭圆进动可与傅科摆的进动相互叠加。但情况复杂，此处就不再讨论了。