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1637年，法国业余数学家费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写道：

“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。对此，我想到了一种绝妙的证明方法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

现在很多人认为费尔马要么没有想到证明方法，要么想到的是错误的。

1995年，英国的怀尔斯宣称证明了费尔马大数定理，但是，证明过程太长，而且用了很多新的数学工具，其证明的正确性遭到很多人的怀疑。

费尔马大定理的命题为：

方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2 。

下面给出证明。

n取1的话，a，b，c可以为正整数无须证明。

现在我们把n取一个大于1的固定正整数，让a和b各自从1开始，到2，再到3，再到4，再到5·····

这样以正整数逐步增大。

我们发现c的值按照费尔马方程的对应法则，随着a,b的增大而增大，c的值（还不是正整数之前）全部都是一系列正整数的n分之1次方的无理数【结论1】。

并且，c值不能小于2【结论2，证明：因为a和b最小的值是1】

c 的值随着a,b的增大而增大，假如我们突然发现c 的值出现了一个正整数。

这个时候c大于a和b，而小于a+b，c,a,b又都是正整数，所以，数轴c,a,b可以用一个三角形P来表示。

令θ为a，b之间的夹角，c是最大边，θ为最大角，这样θ大于60度。

按照勾股定理，如果θ等于90度，n的值是2【结论3】。

结论4：当n大于2时候，θ小于90度。理由如下：

当n越大的时候，a+b-c就越大，导致c比起a+b就越小，c所对应的角度θ就越小。

比如5² = 3 ²+ 4 ²和（4.497····）³= 3³+4³比起来，n等于2时候, a+b-c = 2, 当n等于3时候，a+b-c = 2.503·····

按照三角形的余弦定理，c,a,b又满足以下关系：

c²= a ²+ b ² - 2ab cosθ

由于θ大于60度、小于或者等于90度，所以，cosθ的值大于或者等于0而小于0.5【结论5】。

当费尔马方程在n大于1且a,b的值都取1的情况下，如果不违背结论2和结论1，2ab cosθ的值必须要等于0，按照结论3，n的值只能取2【在n大于1的情况下】。

证毕。

总结：费尔马方程如果在n大于1的情况下仍然成立，a,b,c变化时候的对应法则和三角形三个边a,b,c变化对应法则能够相互兼容，满足这个条件的只有n =2.

有两个推论：

1，n大于2的时候，费尔马方程没有有理数解。

2，我们用尺子和圆规在平面上画不出开n（n为大于2的一个正整数）次方的无理数。这个也是费尔马大定理的几何实质。