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费尔马大定理的简洁证明
[楼主] 作者:张祥前  发表时间:2022/04/26 12:52
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作者张祥前交流微信18714815159

1637年,法国业余数学家费马在阅读丢番图(Diophatus)《算术》拉丁文译本时,在第11卷第8命题旁写道:

将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。对此,我想到了一种绝妙的证明方法,可惜这里空白的地方太小,写不下。

现在很多人认为费尔马要么没有想到证明方法,要么想到的是错误的。

1995年,英国的怀尔斯宣称证明了费尔马大数定理,但是,证明过程太长,而且用了很多新的数学工具,其证明的正确性遭到很多人的怀疑。

 

 

费尔马大定理的命题为:

方程“an次方 + bn次方 = cn次方”在 abcn都是非零正整数的情况下,n的值只能是1

下面给出证明。

n1的话,abc可以为正整数无须证明。

现在我们把n取一个大于1的固定正整数,让ab各自从1开始,到2,再到3,再到4,再到5·····

这样以正整数逐步增大。

我们发现c的值按照费尔马方程的对应法则,随着a,b的增大而增大,c的值(还不是正整数之前)全部都是一系列正整数的n分之1次方的无理数【结论1】。

并且,c值不能小于2【结论2,证明:因为ab最小的值是1

的值随着a,b的增大而增大,假如我们突然发现的值出现了一个正整数。

这个时候c大于ab,而小于a+bc,a,b又都是正整数,所以,数轴c,a,b可以用一个三角形P来表示。

令θ为ab之间的夹角,c是最大边,θ为最大角,这样θ大于60度。

按照勾股定理,如果θ等于90度,n的值是2【结论3】。

结论4:当n大于2时候,θ小于90度。理由如下:

n越大的时候,a+b-c就越大,导致c比起a+b就越小,c所对应的角度θ就越小。

比如5² = 3 ²+ 4 ²和(4.497····)³= 3³+4³比起来,n等于2时候, a+b-c = 2, n等于3时候,a+b-c = 2.503·····

按照三角形的余弦定理,c,a,b又满足以下关系:

c²= a ²+ b ² - 2ab cosθ

由于θ大于60度、小于或者等于90度,所以,cosθ的值大于或者等于0而小于0.5【结论5】。

当费尔马方程在n大于1a,b的值都取1的情况下,如果不违背结论2和结论12ab cosθ的值必须要等于0,按照结论3n的值只能取2【在n大于1的情况下】。

证毕。

总结:费尔马方程如果在n大于1的情况下仍然成立,a,b,c变化时候的对应法则和三角形三个边a,b,c变化对应法则能够相互兼容,满足这个条件的只有n =2.

有两个推论:

1n大于2的时候,费尔马方程没有有理数解。

2,我们用尺子和圆规在平面上画不出开nn为大于2的一个正整数)次方的无理数。这个也是费尔马大定理的几何实质。

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