我发现了在有限和无限之间的临界函数

山东章丘中职学校 马国梁

当自变量x 的定义域是0 → ∞ 时，即便函数 y = f (x) 是单调增加且越来越慢，甚至趋于零增长，但它仍然可能是无界的。如 y = x ^ (1/2)

其实对于幂函数 y = x ^ n 只要n > 0 ，它就总是无界的。

A 但有一种无界函数很特别，它就是对数函数y = ln(x) 

当 x → ∞ 时，它比任何幂函数的增长都缓慢，都更像是有界函数。所以我们可把它看成是值域在有限和无限之间的临界函数。其理由如下。

我们知道：当对函数 y = 1/(x ^ n) 进行积分时，积分函数是

     Y = ( x ^(1- n) ) / ( 1- n )

如果 n < 1 ，那么x在 0 → ∞ 的区间内，积分的结果将是无限大；

如果 n > 1 ，那么x在 0 → ∞ 的区间内，积分的结果将是有限大；

只有当n = 1 时，x在 0 → ∞ 的区间内，积分的结果才是ln(x) 。虽然它比任何有限大都大，但比任何无限大都小。其增长的缓慢程度超出了我们的想像。

B 它们在平面直角坐标系第一象限中的图像有以下几种情况：

当 n = 1 时，函数y = x 的图像是一条45°的斜向上直线。

只有当n < 1 时，函数 y = x ^ n 的图像才是一条弯曲方向和y = ln(x) 一致的曲线。

当n = 1/e = 0.367879 …… 时，函数 y = x ^ n 曲线与y = ln(x) 曲线相切。

切点的横坐标是 x = e ^ e  ，纵坐标是 y = e

当n < 1/e = 0.367879 …… 时，只要n > 0 ，函数 y = x ^ n 曲线与y = ln(x) 曲线就总有两个交点。其中近交点的坐标是趋于 ( e ，1 ) ；而远交点的坐标则都是趋于无穷大，只是横坐标远远大于纵坐标。

C 临界函数的发现意义重大。

我们知道：当n为大于1的正整数、x为全体正整数时，由y = x ^ n 所得到的无穷元素集仍然是可数的。如y = x ^ 2 ，其元素个数是 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + ……

然而当函数变成y = 2 ^ x 时，那么所得到的无穷元素集即变成不可数的了。

其元素个数是 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ……

其实对于指数函数 y = m ^ (x ^ n) ，式中m是大于1的正整数，不管n多么小，只要 n > 0 ，那么所得到的无穷元素集就都是不可数的。

那么当指数函数变成y = m ^ ln(x) 时将会怎样呢？其指数的增长非常缓慢。

因为此时可将该函数写成 y = [ e ^ ln(m) ] ^ ln(x) = [ e ^ ln(x) ] ^ ln(m) = x ^ ln(m)

它变成了幂函数，所以由此可知该函数所决定的无穷元素集将是可数的，且在可数的无穷元素集中它是最大的。

可以理解：凡是由增长速度比ln(x) 更慢的指数函数决定的无穷元素集也都是可数的。

在可数和不可数之间没有间隙，也不存在过渡型的无穷元素集。

D 在此当然我们也可以借题发挥——

在大的方面，超幂 y = x ^ x ^ x ^ x ……

其增长之快远远超出我们的想像，可现实中并没有那么多的事物让我们去数。

在小的方面，复合对数 y = ln ln ln ln …… lnx

其增长之慢也远远超出我们的想像，可现实中还是没有相应的事物让我们去如此描述。

由此可知：数学确实已经远远走在时代的前列了。