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在“幸福思想（一）”中，我们已经看到了四维速度与固有相对速度，先回顾一下。 在时空几何学的研究中，一般取c=1的坐标单位。 四维速度定义为世界线的单位方向向量 V(4)=(dx0,dx1,dx2,dx3)/ds=dxu/ds ds为世界线的弧长微分，ds2=guvdxudxv 固有相对速度在操作上定义为一个物体在另一个物体的瞬时静止惯性系中的表观速度v=dr/dt；但在时空几何学中，它对应于两个物体世界线交角θ的正切值。 cosθ=(A,B)/(|A||B|)=(A/|A|,B/|B|)，即两个四维速度的内积 v=(tgθ)/i=th(θ/i)，i为虚数单位 现在来看固有加速度。一个物体固有加速度的操作定义为，在该物体的瞬时静止惯性系中该物体的表观加速度。下面我们来看它在时空几何中是个什么量。 在X时空点，物体的四维速度向量为U，在Y点，物体的四维速度向量为V。V，U夹角为θ。当取Y点无限接近X点（即取微分）时，V，U夹角为dθ，而dv=th(dθ/i)=dθ/i，则固有加速度 a0=dv/ds=(dθ/i)/ds=(dθ/ds)/i=ρ/i 其中ρ=dθ/ds是曲线曲率的定义。一个有用的结论是，在惯性系中，匀固有加速度运动的物体的世界线是一条等轴双曲线。 同时，我们可以将“固有力”定义为F0=m0a0，其中m0为固有质量——静止质量。 当物体不受“引力”以外的外力作用时，有a0=0，从而有世界线曲率ρ=0，也即世界线为“直”线——实际上是时空流形中的测地线，如果时空流形是平坦的，则测地线为真正的直线。 那引力的效果是什么呢？引力使时空弯曲，改变的是测地线的背景。比如，在球面上，大圆为测地线，因此球面上的二维生物认为大圆——测地线——的曲率为零。但在更高维空间的生物看来，大圆的曲率不为零，而是具有背景空间——球面——在同一方向上的相等曲率。 在时空流形中，连接两个世界点的测地线是长度（对应于“原时”——proper time）最长的世界线，与欧氏空间中测地线是最短长度线相反。这是因为时空流形中的度规guv性质与欧氏度规性质完全不同，前者是不定的，ds2可以是负数；后者是正定的，ds2总是正数。 在双生子详谬中，双生子从同一点出发又回到同一点，构成了端点相同的两条世界线。留在原地的兄弟始终没有受到引力以外的力作用，因此固有加速度为零，其世界线是直线；而去星际旅行的兄弟受到了引力之外的力——火箭反冲力——作用，固有加速度不为零，因此其世界线不是测地线，故其世界线长度要小于测地线，也就是经历的原时少，回来时更年轻。 即使从星际旅行的那位兄弟的观点来看，虽然他一直静止，但中间出现了两次引力场，在出现引力场时，自己靠其它力来平衡引力以保持静止，而另一位不受引力之外的力作用，做自由落体运动。由于固有加速度只与引力之外的力有关，因此仍然可以得出结论，做自由落体运动的那位兄弟的世界线是测地线，经历了更长原时。 接下来看环球原子钟飞行实验，两个钟的世界线端点相同。由于离心力提供了部分升力，因此向东飞行的飞机只需要较小的升力，而向西飞行的飞机需要较大的升力。由于这里升力是唯一的引力之外的力，因此向东飞行的飞机固有加速度较小，而向西飞行的飞机固有加速度更大。等价于，向东飞行的飞机世界线有较小的曲率，而向西飞行的飞机世界线有较大曲率。曲率小的世界线更长——即经历了更多原时。因此，向东飞行的原子钟比向西飞行的原子钟走得快。 |