惯性，及其惯性运动、惯性定律、惯性系、惯性力等等，都是我们解决动力学问题所熟练使用的概念。然而，可能有人不知，迄今为止，全部与“惯性”相关的问题都仍是未解之迷！

爱因斯坦说：“究竟是否存在一个惯性系的问题，直到现在还无法决定。” ^[1] 北师大赵峥教授也不解：“狭义相对论的整个理论都建立在惯性系的基础上，但是我们却无法定义或找到一个惯性系。……惯性力不是起源于物质之间的相互作用，因而没有反作用力，这个特点至今仍然使人感到迷惑”。^[2] 被公认为爱因斯坦之后最睿智的理论物理学>家费曼则哀叹：“没有人找到为什么物体会按惯性而行的原因。我们不知道惯性定律的来源。”^[3]

中科院理论物理所郭汉英研究员认为：“作为一个理论体系，牛顿理论并没有完成……惯性在牛顿体系中起着核心作用，其起源却无法解决。”^[4]

探究“惯性”之谜，大概是每一个思维严谨的人都感兴趣的课题。

两千多年前，古希腊大哲学家亚里士多德指出：“任何运动着的事物应该都是在被一个推动者推动着运动。” ^[5] 这一观点长期被众多科学家所接受。

然而，牛顿在《自然哲学之数学原理》中定义：“物质固有的力……它存在于每一个物体当中，大小与该物体相当，并使之保持其现有的状态，或是静止，或是匀速直线运动，……可以用最恰当不过的名称，惯性或惯性力来称呼它”；还建立了运动第一定律：“每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。”^[6] 第一定律又被称为惯性定律。

从此，普遍认为：惯性运动所依赖的是物质本身固有的惯性，而不是力；惯性定律颠覆了亚里士多德对运动的认识。

但19世纪末，被爱因斯坦推崇为相对论先驱者的马赫，对牛顿的惯性思想进行了批判。“马赫不同意把惯性看成是物质固有的性质，认为在一个孤立的空间里谈论物体的惯性是毫无意义的，提出惯性来源于宇宙间物质的相互作用”。^[7]

爱因斯坦对马赫的惯性思想并不认同——在《狭义与广义相对论浅说》中，爱因斯坦把牛顿的惯性定律“改述”为：“一物体在离其他物体足够远时，一直保持静止状态或保持匀速直线运动状态。”^[8] 显然，在爱因斯坦看来，一物体只有离其他物体足够远而“孤立”时，才能摆脱与其他物体的相互作用，它的运动才真正是依赖本身惯性的惯性运动。

而费曼对上述惯性思想都不赞同。费曼认为：“没有人找到为什么物体会按惯性而行的原因。我们不知道惯性定律的来源。”

我认为，马赫的惯性思想是对的，可惜马赫没能说出这“相互作用”具体是指什么作用？在我看来，这个作用就是“万有引力”。理由如下：

古代的“自然运动”，是一个被广泛注意并做了很多研究的课题。两千多年前亚里士多德就“把运动分为自然运动和强迫运动：重物下落是自然运动，天上星辰围绕地心做圆周运动也是自然运动。”^[7] 他定义：“被自身推动的运动者是自然地运动的”。^[5]

按亚里士多德的这个思路，我们不妨把自然运动定义为：仅仅在万有引力作用下的运动。依此，自然运动应包括下列五类：1）静止；2）绕引力中心的匀速圆周运动；3）开普勒运动；4）抛体运动；5）落体运动。

那么，在牛顿发现万有引力“之前”（注意，是之前），这些自然运动当然都只能被认为是“被自身推动的”，这个“自身推动力”应该就是牛顿所谓的“物质固有的力”——“惯性”。

我推断：在万有引力被发现之后，惯性——这个旧思想的痕迹——却被保留了下来。因此，惯性其实就是万有引力！

支撑这个推断的论据是强有力的：

1）具有非常厚实的实验基础——至今的一切实验都证明了惯性质量等于引力质量，精度已高达10^-12。对于这个事实，赵峥教授说：“比较自然的理解是，引力质量和惯性质量可能是同一个东西。”^[2]

2）爱因斯坦指出：“等效原理与惯性质量等价于引力质量这个定律是密切相关的，……正是通过这一概念，我们实现了惯性与引力本质的统一。”^[9] 可见，爱因斯坦的“惯性与引力本质统一”观点与“惯性就是万有引力”这个推断，几乎是殊途同归。但是，等效原理只在时空一点的无穷小邻域才能成立，^[2] 非常的牵强，也没能回答为什么惯性与引力的本质会统一。而“惯性就是万有引力”这个推断却非常自然，且不受“无穷小邻域”的限制，处处成立。

当然，“惯性就是万有引力”这个推断所面临的困难也是巨大的！这等于是说惯性运动也是受力运动！这岂不是要推翻惯性定律吗？

毋庸置疑，惯性定律是牛顿力学的重要基础之一，牛顿力学的辉煌成就决定了这个基础不可能被推翻。

不过，这并不意味着惯性定律毫无瑕疵！其对伽利略斜面实验的偏离就是一大疑点。

伽利略做过大量的斜面实验，并在《关于两门新科学的对谈》中作出结论：“任何一个速度，一旦赋予了一个运动物体，就会牢固地得到保持，只要加速或减速的外在原因是不存在的。这种条件只有在水平面上才能见到……。由此可见，沿水平面的运动是永无休止的，如果速度是均匀的，它就不会减小或放松，更不会被消灭。” ^[10]

显然，伽利略提出的惯性运动是沿水平面的，其实验基础是可靠的斜面实验。

普遍认为，真正明确提出惯性定律的是牛顿，因为“牛顿改变了伽利略提出的‘物体会沿着水平方向永不停止地一直运动下去’的惯性运动的表述，明确提出惯性的运动是直线运动而不是水平运动”。^[11]

但是，未见牛顿对这个改变给出相应的实验证明，教科书上也强调：“惯性定律是不能用实验严格地验证的”。^[12] 这似乎违反了物理学以实验为王的原则。

费曼也感到迷惑：“为什么它（惯性运动）能保持直线运动？我们不知道”。^[13]

许多人认为，这个“直线”是理想化抽象思维的产物，是作为“公理”提出来的，不强求依赖实验。但我们知道，物理学的公理是不能同几何学的公理相提并论的，“与几何学相比，物理学（的公理）有着附加的约束：它必须与真实的世界相符。”^[11] 换言之，物理学的公理也无权躲避实验验证。

然而，“惯性运动是沿直线的”这个观念早已溶入了我们的血液，仅仅说它缺乏实验基础还不足以让人放弃它。

所幸的是另有大路通罗马！我们知道，一切关于运动的描述都离不开参考系，那么，就让我们明确一下惯性运动所适用的参考系。

普遍认为牛顿并没有明确给出第一定律所适用的参考系。而之后的物理学家都推断第一定律所适用的参考系是“绝对空间”：

“爱因斯坦在为雅莫的《空间概念》写的前言中认为，如果给古典的惯性原理以确切的意义，就必须把空间作为物体惯性行为的独立原因引进来。”^[14] 爱因斯坦还指出：牛顿“已经认识到，可观察的几何量（质点彼此之间的距离）和它们在时间中的进程，并不能从物理方面完备地表征运动。他以著名的旋转水桶实验来证明这一点。因此，除了物体和随时间变化的距离以外，还必须有另一种决定运动的东西。他认为，这种‘东西’就是对于‘绝对空间’的关系。”^[15]

北大赵凯华教授剖析：“牛顿力学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯性参考系。牛顿完全了解自己理论中存在的这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客观标准——绝对空间，用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态。”^[12]

复旦郑永令教授指出：“牛顿声称自己研究的运动是在‘绝对空间’和绝对时间中进行的‘绝对运动’，因而在他看来，第一定律应在‘绝对空间’成立。”^[16]

可见权威们的推断是一致的——惯性定律所适用的参考系是“绝对空间”。

我认为，上述推断是错误的，这个错误来源于一个重大的、普遍的误解——牛顿用水桶实验是“为了论证绝对空间的存在”！^[2] 这个误解主要来自于马赫对“绝对空间”的批判，影响深远。

何以见得这是一个重大误解呢？

牛顿写作《原理》的真正目的是为了“推知真正的运动”。^[6] 为此，牛顿进行了水桶实验：用旋紧的长绳悬挂一个装有水的桶，桶与水都静止，水面是平的，然后让桶随着长绳的松劲而转动，起初“水面保持平坦，因为水的真正旋转并未开始。但在那之后……水沿桶壁上升……说明水的真实的转动正逐渐加快。” ^[6] 可见，牛顿用水桶实验是为了论证真实的转动——“绝对运动”的存在！

何谓绝对运动？《原理》中有定义：“绝对运动是物体由一个绝对处所迁移到另一个绝对处所”。^[6] 这很明确，绝对运动的参考系是“绝对处所”。

那么，“处所”和“空间”是同一个概念吗？当然不是！《原理》中定义：“处所是空间的一部分，为物体占据着”。^[6] 牛顿在《论流体的重力和平衡》中定义得更直白：“处所是为某种东西均匀填充的一部分空间。” ^[14] 显然，“空间”中如果没有被填充“东西”，那只是“空间”，而不是“处所”！

遗憾的是，受时代的限制，牛顿终生没能指出这填充在“空间”中而成为“处所”的东西是什么，以致马赫把“绝对处所”与“绝对空间”混为一谈，误认为水桶实验是“为了论证绝对空间的存在”，并对“绝对空间”大加批判，进而导致大家错误地推断牛顿定律所适用的参考系就是绝对空间。

这个推断使得牛顿力学处境尴尬，因为谁也无法参照“绝对空间”确立什么参考系。

惯性系概念并非牛顿本人提出来的！而是两百年之后被生造出来的——“在马赫（对绝对空间）的批判之后两年，德国物理学家朗奇（L.Lange）在1885年发表的《论伽利略惯性律的科学结构》一书中，从物理概念的基础寻找消除绝对空间概念的方法。这个方法是用惯性系取代绝对空间，将牛顿力学体系建立在惯性系的基础上，从而使牛顿的力学定律在‘消除’绝对空间的条件下，仍能保持其全部物理意义。”^[14] 朗奇定义：惯性定律成立的参考系称为惯性系。^[17]

“惯性系”似乎没有“绝对空间”那么空虚，逐渐被大家接受。

但根据定义，“作为研究物体运动时所参照的物体，称为参考系”，^[12] 可知参考系首先得是一种“物”，然而谁也说不出惯性系是什么“物”！爱因斯坦也不得不承认：“究竟是否存在一个惯性系的问题，直到现在还无法决定”。

更糟糕的是，惯性定律必须在惯性系中才能成立，而惯性系的确认又依赖于惯性定律的成立。爱因斯坦敏锐地指出：惯性系概念是逻辑循环，这“显示出经典物理学中的一个严重的困难……整个物理学都好像是筑在沙堆上一样。”^[1]

然而，除了“惯性系”，似乎没有更好的选项。无奈，现在的教科书上仍硬着头皮说：惯性定律只在惯性系中成立。

其实，牛顿力学本来并没有这些尴尬，牛顿力学的辉煌成就也证明了它绝不可能是筑在沙堆上的。

我前面已指出，受时代的限制，牛顿终生无法具体指出填充在“空间”中而成为“处所”的是什么东西。如果能把水桶实验的“绝对处所”指认出来，那么，牛顿力学所适用的参考系也就水落石出了。

我们比牛顿有更广阔的视野，已经知道无形的引力场也是一种“物质”！那么引力场这种物质能否就是牛顿梦寐以求的“绝对处所”呢？教科书上一道关于水桶实验的例题让我产生了这个猜想！

该例题是：“一水桶绕自身的竖直轴以角速度ω旋转，当水与桶一起转动时，求水面的形状。”答案：水面为旋转抛物面，抛物线方程为 z=ω²r² /(2g)。^[16]

可见，水呈抛物面的唯一外因是“地球引力场强度g”。

既然引力场是一种物质，那么，把“引力场”认定为“绝对处所”，说“水”是相对于“引力场”在作“绝对运动”，不是非常自然的吗？

马赫批判水桶实验的理由是：“根本不存在绝对空间；转动不是绝对的，而是相对的，产生离心力是水相对于全宇宙物质（遥远星系）转动的结果。”^[2]

如果当年牛顿能指出引力场就是绝对处所，那么，水相对于引力场这种物质的转动，难道不正是相对的吗？全宇宙物质是通过什么作用于水的呢？难道不就是引力场吗？如此，马赫还能有什么理由批判水桶实验呢？

有人质疑，既然全宇宙物质是通过引力场作用于水的，那么为什么水面方程中仅含地球的引力场强度g，而不含太阳和其他远域物质的引力场强度呢？

其实，答案非常简单：我们不能用静力学理论来分析动力学问题。通俗地说，由于其他远域物质对太阳的引力，已被太阳绕银河中心的转动而消耗殆尽，太阳对地球的引力，已被地球绕日转动而消耗殆尽，所以桶中的水所能感知的只是地球的引力。

所谓“引力被消耗殆尽”，与“失重”是同一个意思 ——以太阳为参考系，桶中的水受太阳引力而随同地球一起绕日公转；而以地球为参考系，“水”受到的太阳引力，与“水”绕日公转的离心力相抵消，因此，“水”对太阳“失重”了，“水”所能感受的只是地球的引力。这与自由飞行的人造卫星中的物体对地球“失重”是一样的道理，人造卫星中的物体只能感受人造卫星对它的引力。同理，自由落体电梯内的物体对地球也“失重”了，而只能感受电梯对它的引力。

还有人质疑：引力场是无形物质，似乎无法在其上选定不动的参照物而建立坐标系。换言之，引力场作为参考系没有可操作性。

其实，牛顿在《原理》中已经给了我们示范，他在研究天体运动时，首先就明确地给出了一个不动的参照物——【第三篇、宇宙体系】中有“定理11：地球、太阳以及所有行星的公共重心是不动的。”牛顿正是依赖这个不动的重心，研究行星的运动，建起了气势磅礴、美轮美奂的宇宙体系。这个静止不动的公共重心，难道不正是太阳系引力场的中心吗？因此，不动的引力场的中心，正是坐标系原点的最佳选择。

物理学家早已在实践中，用“地心-恒星参考系”研究人造卫星的运动；用“日心-恒星参考系”研究行星的运动。^[18] 实质上，这些都是把坐标原点建立在引力场中心的近似方法，非常实用。怎么能说，引力场作为参考系没有可操作性呢？

通过以上论证，可以断言：引力场就是牛顿梦寐以求的“绝对处所”，引力场也就是惯性定律所适用的参考系！

因此，惯性运动一定是引力场中的运动！而不是爱因斯坦所说的“离其他物体足够远时”的运动。

引力场是有心场，在斜面实验中，匀速率小球的惯性运动若“沿直线”，其势能必将发生变化，而唯有“沿水平面”，才不会违反机械能守恒定律。

所以，“惯性运动是沿直线的”这个观点，不仅仅违反了斜面实验的事实，也违反了机械能守恒定律。

至此，我们已经有两方面的论据相互印证：惯性运动不是沿直线的！

那么，究竟怎样的运动才是“惯性运动”呢？

尽管所有的自然运动都是由万有引力——“惯性”所拉动的，但是，并非所有的自然运动都可以称为惯性运动。伽利略指出：“如果自然的运动无限制地持续运动下去，就会呈现惯性运动的概念”，^[14] 且惯性运动的“速度是均匀的”。

据此，抛体和落体这两种自然运动不能长久持续，当然不是惯性运动；而开普勒运动尽管能长久持续，但速度并不均匀，也不是严格的惯性运动；唯有静止和绕引力中心的匀速圆周运动这两种自然运动，既永无休止，又速度均匀，才可以称为惯性运动。这正是伽利略的观点，“等速圆周运动也是一种惯性运动”。^[7]

那么，惯性运动的物理机制是什么？

从受力的角度分析：斜面实验中，水平面上作匀速率运动的小球所受的引力大小始终不变，此引力与平板对小球支撑力的合力，恰等于小球绕地心作匀速圆周运动的向心力。这个向心力是“被支撑力抵消后所剩余的引力”，其大小恒定不变。可见，作惯性运动的物体并非不受力，也不是所受合力为零，而是持续受到恒定大小的引力作用。

从机械能守恒的角度分析：尽管斜面实验中水平面上小球受到了恒定大小的引力作用，但小球在引力方向上没有位移，也就是说，引力并不作功，匀速率小球的势能和动能都分别保持不变。可见，惯性运动的本质是等势面（水平面）上的匀速率运动，而不是匀速直线运动。

惯性运动能有如此明确的物理机制，无疑是个进步。看来，应该对惯性定律作出必要的修正。

惯性定律是牛顿力学的重要基石之一，难道基石也允许被修正吗？

其实，原始的牛顿定律是有瑕疵的，不仅第一定律需要修正，第二定律已早就被修正过了。“对于第二定律，牛顿当时指出了力（F）的作用同动量（mv）的变化成正比。这是不完全的。直至1750年，欧拉才指出应该是动量的时间变化率与外力成正比，即F∝ d(mv) / dt。”^[7] 如此修正之后，第二定律就成了动量定理的微分形式（力的瞬时效果），而动量定理则是第二定律的积分形式（力对时间的积累效果）。^[16] 欧拉对第二定律的修正，使牛顿力学更完善了！

我认为，第一定律可修正如下：

相对于其所处的引力场，任何物体都保持静止的或沿等势面向前作匀速率运动的状态，除非它所受到的引力大小发生了变化，或有其他的力作用于它，迫使它改变那个状态。

所谓“沿等势面向前”，就是沿测地线。

进行这样的修正，有什么优越性呢？ 

1）明确了惯性定律所适用的参考系是物体所处的引力场，牛顿力学不再是爱因斯坦所说的那样是“筑在沙堆上”的学说了；

2）惯性定律完全符合伽利略斜面实验了；

3）惯性定律不再与机械能守恒定律相抵触了；

4）可以认为，原第一定律相当于修正后第一定律的微分形式。这是因为，“局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。”^[19] 原第一定律中的“直线”，只不过是“水平线”的局部线性化；匀速直线运动只不过是惯性运动的瞬时状态。因此，“只要我们所讨论的问题不是像大气或海洋环流那类牵涉空间范围较大、时间间隔较长的过程”，^[12] 原第一定律几乎都有效！甚至比修正后的更简便、更实用，这正是微分的优势。

王振发先生在21世纪高等院校教材《分析力学》中深刻指出：

【力学原理可分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可分为两种不同的形式：微分形式和积分形式。

不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，如机械能守恒原理即不变分的积分原理。……】^[20]

如若不对原第一定律和原第二定律进行修正，则它们都无法按这个分类原则找到恰当的归属。而修正之后：修正后的第一定律非常妥帖地归属为不变分的积分原理，原第一定律则“相当于”修正后第一定律的微分形式；动量定理属不变分的积分原理，修正后的第二定律则是动量定理的微分形式。

显然，第一定律的这个修正，与第二定律的修正一样，使牛顿力学更完善！

还有一个悬疑问题需要解释：惯性力为什么没有反作用力？

现在的教科书上定义：“在非惯性系中，为了在形式上用牛顿定律解释物体的运动而引进的虚拟力常称为惯性力。……惯性力与真实力不同，惯性力不是物体与物体间的相互作用，它没有施力物体，因而也没有反作用力。”^[16]

这显然违反牛顿对惯性力的定义！牛顿在《自然》中写得明明白白：“物质固有的力……可以用最恰当不过的名称，惯性或惯性力来称呼它”！

我在前面已经有力地论证了惯性或惯性力就是万有引力。因此，惯性力是真实的力，而不是虚拟力！ 惯性力当然是有反作用力的。

我无从考证最早把“虚拟力”称为惯性力的人是谁？依据又是什么？

我特别赞赏《费恩曼物理学讲义》，该讲义把“只是由于观察者不具备牛顿坐标系”而出现的这个“虚拟力”称为“赝力”，而不称其为惯性力；也不把“离心力”说成“惯性离心力”。^[13]

简而言之，“惯性的起源”这层窗户纸，是遮挡我们看清所有惯性之谜的障碍。一旦捅破了这层纸，惯性定律的瑕疵也就暴露无疑了。

在搞清了惯性运动的物理机制之后，对惯性定律的修正是顺理成章的。更要紧的是，这个修正不仅优越性显著，而且不会引起牛顿力学的“地震”！

爱因斯坦早就深刻指出：“伽利略已经在认识运动定律上作了一个意义重大的开端。他发现了惯性定律和地球引力场中的自由落体定律……。但是应当注意，上面这两条陈述都是讲的整个运动，而牛顿的运动定律则回答这样的问题：在外力的作用下，质点的运动状态在一个无限短的时间内应该如何变化？只有考虑到在无限短的时间内发生了什么（微分定律），牛顿才得到一个适用于任何运动的公式。” ^[15] 我完全赞同爱因斯坦的上述观点——牛顿运动定律是微分定律！

但爱因斯坦在这里所指的牛顿运动定律，应该没有包含第一定律，因为他并没有看破，第一定律中的“匀速直线运动”，只是引力场中惯性运动的瞬时状态；牛顿的“直线”，只是伽利略“水平线”的局部线性化。

而我对第一定律的修正，让爱因斯坦的“牛顿运动定律是微分定律”思想更加完整了。

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2017/05/19  于 叶榭