|
“穿衣”定理与“圆”判据
一“穿衣”定理 所谓“穿衣”定理是指：任何几何形状的物体，如果给它一层一层地不断地“穿衣”，那么当穿了足够厚的层数以后，这个几何形状都会变成“圆球”。 这里所谓“穿衣”定义如下：在物体任何一处的表面的法线方向上都增加同样的厚度；之后以上一次“穿衣”后的整体（原物体加上一层衣服）为基础，再按前面给出的规则重复“穿衣”。。。。。。 这个定理可以通过作图法很直观地加以证明，但要考虑各种情况并给以数学公式上的完全严格的证明是困难的。这里仅给出其几何学上的简单的证明。 在物体表面上总可以找到两点，并使它们间的距离为最大,设这个距离为2r；设物体“穿衣”的厚度为h; 对于任意给定的一个足够小的正数ε（不论给定的ε值多么小），总存在一个h值，使得它满足不等式： r/h <ε,此时原物体本身的几何形状和大小已可以忽略不计，它相对于穿了足够衣服后的物体而言已可以近视看做为“点”（圆心），(h+r)已近似于h,因此可以看作半径，而“外穿衣曲线”可近似看作圆周。当给定的ε值趣于0时，满足不等式： r/h <ε的“外穿衣曲线”就是准确的圆球。 二：关于“圆”判据 在几何学中圆有其非常精确的定义，这个定义是一个非常合理的科学框架和科学的抽象。在这个定义中，圆心是一个“抽象”的点，而圆周是非常完美、非常光滑、没有任何缺陷的连续的曲线。 几何学中（完美的）圆的定义和性质是人们在科学实践中解决一切有关圆的问题的蓝本。它绝对地精确而没有任何的近似。 在科学研究中，我们有时会遇到不很完美的圆，在生产实践中更会遇到大量的非理想的、不够完美的圆，这时圆和非圆之间的界限就显得有些模糊了。若根据几何学对圆的严格定义来判断，那么我们在科学和生产实践中通常所号称的圆其实都不叫圆。这里把这些实践中的我们感到满意并号称其为圆的似圆之非圆称做“准圆”或“似圆”。 于是我们会面临着如下的问题：这些似圆之非圆到底跟圆相似到什么程度才能使我们感到满意--------------------我们显然需要一个判据，亦即我们需要一个定义。 在给出判据之前，先让我们参照几何学中严格意义上的圆对似圆之非圆的种类做个划分：（A）有理想的圆心而无理想的圆周；（B）有理想的圆周而无理想的圆心；（C）既无理想的圆心也无理想的圆周。 （A）有理想的圆心而无理想的圆周 设最大半径为R，最小半径为r，我们总可以根据实际需要给出一个确定的小数ε，当(R-r)/r <ε时我们感到满意，并声称它为圆。 （B）有理想的圆周而无理想的圆心 既然有一个理想的圆周，这个圆周必然对应着一个确定的理想的圆心，设理想的圆心和理想的圆周上的点间的距离为R（即半径）；而实际的圆心分布在理想圆心周围的一个小区域内，且这个区域包含在理想的圆周之内，设理想的圆心和这个区域内可能的真实的圆心的最大距离为r；我们总可以根据实际需要给出一个确定的小数ε，当r/R <ε时我们感到满意，并声称它为圆。 (C)上面“穿衣定理”所描述的就属这种情况，其判据在上面已经给出。对于“既无理想的圆心也无理想的圆周”的普遍的情况，本文很难给出形式完美的判据。 2000．8．24． 转自 我是中国人[ysg.xilubbs.com] |