对轴向导电圆环平面内磁场分布的探讨

以往人们计算导电圆环产生的磁场，都是讨论电流沿圆环流动，形成闭合电流回路。我今天讨论讨论电流沿圆环轴向流动在圆环内产生的磁场。由于本人感觉这种电流流法有可能在环中产生磁场，因此开此主题贴。本人数学水平有限，公式推导过程中难免会遇到疏漏、写错的地方，希望有能力的同志提供帮助，找找设计毛病。

在XOY平面直角坐标系上，以O点为圆心，画一半径为R的圆环A，作为通过轴向电流的圆环（圆环径向厚度不计）。再画一个半径r<R的安培环路积分同心圆环C。我在圆C上选取一固点Q(r,0),考察Q点的磁感应强度B。

设通过圆环A的轴向总电流为I，则沿A圆环圆周的轴向电流密度λ=I/2πR。在圆环A上取一段长度dl=Rdα，为方便说明作图，我把这段长度取在第一象限P(x,y)。P点的电流方向由纸面指向眼睛，以“点”表示电流方向。α是OP连线（A的半径R）和x轴的夹角。连接PQ两点，得到电流元λdl=λRdα=(I/2π)dα和被考察点Q(r,0)之间的距离L=PQ。以Q点为垂足，画出一段矢量射线QS，表示P点在Q点产生的磁感应强度B的方向和大小。因为电流元取自第一象限，按右手定则，我得到Q点B的方向是指向右下角第四象限。标记L=PQ和x轴的夹角为β。标记B=QS和x轴的夹角为γ。因QS垂直于PQ，这里存在γ=π/2-β的关系。因为磁感应强度B用矢量QS表示，它在两个坐标轴上的分解矢量是

Bx=Bcosγ=Bcos(π/2-β)=Bsinβ
By=-Bsinγ=-Bsin(π/2-β)=-Bcosβ

电流元和被考察点的距离
L=√[(x-r)^2+y^2]
L^2=(x-r)^2+y^2

dB=(μ0 I/2π)dα/4πL^2
=μ0 I dα/8π^2L^2
=μ0 I dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]

sinβ=y/L
cosβ=(x-r)/L

得到
dBx=sinβ dB
=y dB/L
=μ0 I y dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]√[(x-r)^2+y^2]
=μ0 I y dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]^(3/2)

dBy=-cosβ dB
=-(x-r) dB/L
=-μ0 I(x-r) dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]√[(x-r)^2+y^2]
=-μ0 I (x-r) dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]^(3/2)

把x=R cosα、y=R sinα代入上面式子，得到

dBx=μ0 I y dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]^(3/2)
=μ0 I R sinαdα/8π^2[(R cosα-r)^2+(R sinα)^2]^(3/2)

dBy=-μ0 I(x-r) dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]^(3/2)
=-μ0 I (R cosα-r) dα/8π^2[(R cosα-r)^2+(R sinα)^2]^(3/2)

将两式分别对角度α进行环A的积分∮dBx和∮dBy。先做不定积分
Bx=∫dBx
=∫μ0 I R sinα dα/8π^2[(R cosα-r)^2+(R sinα)^2]^(3/2)

=-μ0 I/(8π^2 r √[r^2 + R^2 - 2 r R Cosα])+C

取α的上下限[2π，0]
求得环路定积分结果
Bx=-μ0 I/(8π^2 r √[r^2 + R^2 - 2 r R Cos2π]) +μ0 I/(8π^2 r √[r^2 + R^2 - 2 r R Cos0])
=μ0 I/(8π^2 r √[r^2 + R^2 - 2 r R]) -μ0 I/(8π^2 r √[r^2 + R^2 - 2 r R])
=0

X方向磁场为0，这个结果是预料之中的。

Y方向的积分则很麻烦
By=∫dBy
=-∫μ0 I(R cosα-r) dα/8 π^2[(R cosα-r)^2+(R sinα)^2]^(3/2)

=μ0 I((r - R)^2 Sqrt[(r^2 + R^2 - 2 r R Cos[α])/(r - R)^2] EllipticE[α/2, -((4 r R)/(r - R)^2)]

 + (r^2 - R^2) Sqrt[(r^2 + R^2 - 2 r R Cos[α])/(r - R)^2] EllipticF[α/2, -((4 r R)/(r - R)^2)]

 + 2 r R Sin[α]))/(8  π^2 r (r - R) (r + R) Sqrt[r^2 + R^2 - 2 r R Cos[α]]+C

这里出现了非初等函数的积分结果，椭圆积分，计算机不能进一步给出化简结果，我也不知如何代入上下限了。初步认为，Y方向分量定积分结果不等于零。如果是真的不为零，也就和预料的一样了：Q点的磁感应强度方向沿Q点切线。

一旦Q点有不为零的切向分量，那么这个圆环C上就处处有不为零的切向分量。沿路径C的整个安培环路积分结果就不为零。

我若令r=0，就意味着我把考察点移动到圆心了。此时，
dBx=μ0 I y dα/8π^2[x^2+y^2]^(3/2)
=μ0 I R sinα dα/8π^2[(R cosα)^2+(R sinα)^2]^(3/2)
=μ0 I R sinα dα/8π^2[(R^2]^(3/2)
=μ0 I sinα dα/8π^2 R^2

dBy=-μ0 I x dα/8π^2[(x-r)^2+y^2]^(3/2)
=-μ0 I cosαdα/8π^2 R^2

Bx=∮dBx=0
By=∮dBy=0

可见，被考察点在圆心时，圆心没有磁场。这也是预料之中的。