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广义相对论百年（上）
王令隽 2015年二月 爱因斯坦于1915年发表广义相对论，至今一百年了。这是物理学界见证翻天覆地变化的一百年。整个物理学的理论系统，逻辑系统和思维哲学在20世纪都翻了一个底朝天。此前的经典物理学的时空理论，波动理论，粒子概念，势场概念，质能观，宇宙观，因果率，认识论，形式逻辑，科学实证主义等等，全都被彻底颠覆了。这种翻天覆地的变化是由十几个理论明星造成的。爱因斯坦无疑是众多明星中的巨星。如果从物理理论本身的结构来看。20世纪理论物理的两大支柱是相对论和量子理论，从中生长出了宇宙学和粒子物理。爱因斯坦只手撑起了相对论这根支柱，发展出了20世纪的宇宙学。同时，因为相对论的协变性原理和质能等价原理被引进到量子场论，其对微观物理的影响至深至巨。说爱因斯坦是对近代物理影响最大的里程碑性的人物，确实是实至名归。至于这种影响是功是过，则取决于20世纪理论物理的宏观理论和微观理论的对错，取决于对经典物理的彻底颠覆的对错。而是非对错的判断最终落实到20世纪理论物理对于科学的其他分支到底是否起到了基础理论的作用，对科学其他分支的发展有没有起到推动作用。对此，我在一系列文章中有过一些分析和讨论。我想在这篇文章中着重谈谈广义相对论的问题。因为涉及黎曼几何，所以我想力图用一般科学工作者能够接受的语言将广义相对论的基本脉络，主要预言，实验检验，存在的问题，以及对宇宙学和一般物理科学的影响作一个大致的介绍，希望抛砖引玉，邀请学界同仁一起来对一百年来的理论物理做出认真的总结评估，使新世纪的物理学沿着健康的道路发展复兴。 对于广义相对论这个名词，有些学者有些异议 [1,2]，认为应该称为几何动力学（Geometrodynamics），理由是爱因斯坦的引力理论和狭义相对论没有太大关系。他们认为爱因斯坦引力场方程是基于空间弯曲产生引力的思想直接建立在黎曼几何之上的理论，不是从狭义相对论推广而来。这种看法有些偏颇。黎曼几何只不过是数学工具。如果以数学工具来命名一个物理理论，那牛顿的万有引力理论岂不是要称为“代数动力学”？爱因斯坦之所以将他的引力理论称为广义相对论，是因为他知道广义相对论的一些关键概念是从狭义相对论继承推广而来的：1）在广义相对论中，时间间隔不是由 Dt来量度，而是由时空间隔 Dt 来量度。这是直接从狭义相对论继承下来的假定；2）光速不变原理也是从狭义相对论继承下来的假定；3）广义相对论的能动量张量是从狭义相对论的能动量矢量和相对论电动力学中的能动量张量继承而来。这对引力场方程的建立至关重要；3）等效原理假定引力时空中的任何一点都可以定域地变换到平坦的闵可夫斯基时空。这些都说明从狭义相对论到广义相对论的基因传承。这种基因传承当然是在爱因斯坦的子宫或者大脑中完成的。 一） 爱因斯坦引力场方程的建立 爱因斯坦的引力方程受到两个主要思想的启发。第一个是马赫原理，第二个是引力使空间弯曲的思想。马赫原理认为：一个物体的惯性行为由全宇宙的能量-动量所决定。这种将地球上的现象归因于远在宇宙边际的物理量的“原理”本质上是星相学的，而且没有量化的表达式。所以有些学者为了维护相对论的声誉，尽量淡化马赫原理对广义相对论的影响。比如奥哈尼安说：“虽然爱因斯坦理论确实表明惯性对质量分布的某种依赖，事实上马赫原理对这一理论的影响是非常小的。”[2] 但是奥哈尼安无法否认，爱因斯坦确实是根据马赫原理，将能动量张量放在他的引力方程的一边。至于方程式左边表示引力的张量，根据引力使空间弯曲的思想，他认为应该和时空的曲率张量有关。这就是他建立新的引力方程的基本思想。很显然，这样的方程一定是一个张量方程。 但是曲率张量是一个反对称的四阶张量，有256个分量（21个是独立的），而能动量张量是一个对称的二阶张量，只有16个分量（10个是独立的）。不同阶的张量显然不可能相等。所以必须把曲率张量收缩成一个二阶的张量。张量的收缩纯粹是一个数学操作。我们知道零阶张量是一个标量，一阶张量是一个矢量，二阶张量是一个方矩阵。如果将一个方矩阵的对角线上的矩阵元加在一起，就得到一个标量，叫做矩阵的“迹”。这个数学操作把一个二阶张量收缩成了零阶张量。对高阶张量的收缩也类似。每一次收缩都会将张量阶数降低二阶。所以，将四阶的曲率张量收缩一次就得到一个二阶张量，称为里奇张量。 不过，直接将里奇张量等于能动量张量也不行，因为能动量张量的散度等于零，而里奇张量的散度不等于零。为了满足方程式两边散度相等，可以将里奇张量减去度规张量乘以曲率的一半，得到一个新的二阶张量，叫做爱因斯坦张量。爱因斯坦引力方程就是：爱因斯坦张量等于能动量张量乘以一个常数： |
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我的公式贴不上来，黄德民先生的公式也没贴上来，再试试：按4楼
(1) Gμν = k Tμν (1a) Gμν = Rμν – (R/2)gμν 此处 Rμν 为里奇张量，gμν 为度规张量，Gμν 为爱因斯坦张量，Tμν 为能动量张量，R 为黎曼曲率标量。爱因斯坦是这样来确定常数k的：在弱引力场的近似条件下，他的张量方程应该能够给出牛顿万有引力公式。这个“线性近似”条件要求： (1b) k = – 8π G/c4 此处c为光速，G 为万有引力常数。在理论物理中为了方便，常用一种“自然单位系统”。在这种系统中将光速和普朗克常数设定为1。如果采用这种自然单位系统，方程式（1b）中的 c 就等于一，比较简单。 二）爱因斯坦引力场方程的解 方程式（1）形式上看似简单，其实是一个非常复杂的二阶偏微分方程组。这个方程组包含几个独立的方程呢？可以简单算一下。一个四维二阶张量有16个元素。但是因为方程式（1）中所有的张量都是对称的，因此只有十个独立分量。另外，里奇张量还必须服从四个毕安基恒等式的约束条件，所以只有六个独立分量。也就是说，爱因斯坦引力方程是一个包含六个独立非线性偏微分方程的方程组。这还不足以说明其复杂性。这个方程组包含一阶偏微分的平方（高度非线性）。如果把边界条件和初始条件的复杂性加进来，任何数学家都只能望洋兴叹。简言之，爱因斯坦建立的这么一个极其复杂的张量非线性偏微分方程组不仅不存在一个一般的解析解，就连寻求这样的解析解的一般方法都没有。难怪爱因斯坦建立了这个方程以后，自己都找不到解。 既然无法找到一般的解析解，那就退而求其次吧，看看能不能找到极为简单的边界条件下的解。不久，施瓦兹查尔德找到了一个最简单的边界条件下的解：球对称质量的静止引力场，称为施瓦兹查尔德解。这个边界条件之所以最简单，是因为它是静止场，因此所有对时间的微分都等于零；同时又因为球对称，所以对两个方位角的微分都等于零。这就使问题大大简化。求得施瓦兹查尔德解的演算过程，在一般像样的广义相对论教科书上都能找到。施瓦兹查尔德解的结果是（此处用自然单位系统）[2]： (2)ds2 = gμν dxμdxν = (1- 2GM/r )dt2 – (1- 2GM/r )-1 dr2 – r2 (dθ2 + sin2θdφ2) 此处dx0 = dt, r 为半径，θ 为极角，φ 为方位角，M 为质量， G为万有引力常数。施瓦兹查尔德度规张量元素为： (3)g00 = 1- 2GM/r ; g11 = – (1- 2GM/r )-1; g22 = - r2 ; g33 = - r2sin2θ 所有其他度规张量元素都为零。 稍后，科尔找到了旋转球对称质量的引力场的解析解[3]： (4)ds2=g00dt2 + g11dr2 + g22dθ 2 + g33dφ 2 +2 g03dφ dt 各度规张量元素为： (5) g00 = c2 (1- kr/ρ 2 ); g11 = - ρ 2 /H ; g22 = - ρ 2 ; g33 = – (r2 +a 2 )sin2θ – (a2kr/ρ2)sin4θ ; g03 = g30 = (ackr/ρ2)sin2θ 此处 (6)ρ2= r2 + a2cos2θ (7)H = r2 + a2 – kr (8)k = 2GM (9)a = J/M 其中J 为角动量, a 和k 都是量纲为长度的常数。科尔解和施瓦兹查尔德解的最大不同是，科尔度规除了对角线元素以外，还有（0,3）和（3,0）分量不为零。如果角动量等于零，科尔度规退化为施瓦兹查尔德度规。 科尔解和施瓦兹查尔德解是我们至今知道的现实的物理空间中仅有的两个爱因斯坦方程的解析解。其物理意义后面再讨论。现在我们先看看引力方程的一个近似解。这个近似解虽然不精确，但是对建立引力场方程和剖析广义相对论的物理意义至关重要。 三） 线性场近似 线性场近似又叫弱场近似。因为引力场很弱，所以时空接近平坦，引力场的度规张量应该非常接近平坦时空的闵可夫斯基度规： (10)gμν = ημν + hμν 此处 ημν 是闵可夫斯基度规, hμν 是 gμν 与 ημν 之差的无穷小张量。其次我们还加上一个近似稳态假设：所有对时间的导数都忽略不计。在这种假定下，短程线方程（运动方程）简化为（恢复c.g.s.单位系统）： (11)d2x/dt2 = – (c2/2) Grad(h00) 此处Grad(h00)为h00 的梯度。将方程式（11）和牛顿定律相比较： (12)md2x/dt2 = F =- Grad(φ) 立即得到 (13) h00 = 2φ/c2 = – 2GM/rc2 另一方面，同样因为稳态近似，速度可以忽略不计，能动量张量的显著元素只有(0,0) 分量，所以只须考虑爱因斯坦方程的 (0,0) 分量（计算从略）： (14) R00 = (4πG/c4) T00 在线性近似条件下，我们可以得到： (15) R00 = (1/2) h00,ii = (1/2) Δh00 此处 h00,ii 代表h00 对xi二阶导数，Δ 为拉普拉斯算符。由方程式(14)(15)得到 (16) Δh00 = (8πG/c4) T00 将方程(13) 代入(16），我们得到 (17)Δφ = (4πG/c2) T00 = 4πGρm 此处ρm为质量密度。（17）式和经典的牛顿万有引力定律的高斯定理表述完全一样。事实上，这种一致是因为建立张量引力方程时将自由参数k选择为如式（1b）所示而达成的，不是巧合。又因为这种选择，使得爱因斯坦引力场方程在线性场近似条件下对牛顿万有引力理论的修正小得实验无法测量。实际上修正等于零。 人们通常根据线性场近似的结果跳到以下结论：因为在线性近似条件下爱因斯坦引力场方程和牛顿万有引力定律完全一致，而牛顿万有引力是为无数实验结果证实了的，所以也就证实了爱因斯坦的引力方程的正确。如此通过选择自由参数来靠近一个已经被证实了的理论以证明自己的正确，倒也罢了。令人匪夷所思的是，相对论者居然宣称，牛顿万有引力定律只是近似正确的理论，只有爱因斯坦的引力理论才是精确的理论。这些朋友如此武断地反客为主，一点也不感到脸红。如果一个新的理论仅仅在某种特殊条件下与一个已经为实验证实的理论符合，只能说明新理论在此特定条件下正确，并不能证明它在一般情况下普遍正确。比如说，我有一个理论：x +x = x2 = xx。这个理论在x = 2的特殊条件下是成立的，能不能说它在一般条件下就是普遍正确的呢？当然不能。要证明爱因斯坦的引力方程正确，必须证明它在一般情况下的正确性。仅仅根据某一特定情况得到的正确结果来论断一个理论的正确性，对于诱导学生建立信心是有用的，但不是严格的科学证明。爱因斯坦在建立他的引力方程的时候，必须以在稳态弱场下能过渡到牛顿万有引力公式为必要条件来调整参数，说明牛顿定律是正确的标准。说明爱因斯坦的引力方程近似正确。要证明爱因斯坦的引力理论比牛顿的理论正确，就必须证明在线性近似不适用的强场条件下牛顿定律是错的而爱因斯坦的引力方程是正确的。有这种证明吗？没有。 有些理论家们可能会抱怨说，在一般的强场条件下要得到爱因斯坦场方程的精确解太难了。要证明爱因斯坦方程在一般条件下的正确性，有无法克服的数学困难。他们说，我们可以找到一些实验证据来检验广义相对论的正确性。那么就让我们就来看看教科书上所说的广义相对论的三个“经典检验”：1）水星近日点的移动；2）引力使光线弯曲；3）引力红移。 |
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爱因斯坦曾经把相对论比作一座漂亮的二层别墅，第一层为狭义相对论，第二层为广义相对论。现在有人说，相对论像中国古代的一只三足鼎，这三条足就是狭义相对性原理、光速不变原理、等效原理。——摘自《物理通报》（国家A级学术刊物）2015年第二期〈关于相对论的体系结构〉。
在我看来，相对论像一只独脚垃圾桶——它的这只独脚，在狭义相对论就是“光速对所有惯性系不变假设”；在广义相对论便是“光速对所有参考系不变假设”。 |
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接16楼
( 四）广义相对论的第一个实验检验—水星近日点的移动 所谓水星的近日点，就是水星轨道离太阳最近的那一点。近日点和远日点的移动就是椭圆轨道长轴（或短轴）的移动。如果把太阳和行星都看成为质点，并且在计算行星轨道时，忽略所有其他行星的存在，那末行星轨道的近日点是不会移动的。可是这种理想的条件不符合实际情况。因为第一，太阳本身不是一个质点，而是一个扁球体；第二，太阳系里有九个行星和其他物质。它们的相互作用会影响到任何一个行星的运动。所以行星的近日点都会移动，水星近日点的移动比较大，最便于观察。实验观察到的水星近日点每一百年会移动5600弧秒[4]。其中大约5025弧秒（90%）是由于从事天文观测的地球坐标系本身的转动造成的[5]。剩下575弧秒（10%）基本上是由于其他行星的影响造成的。 精确计算其他行星对水星近日点的影响是几乎不可能的事情，因为这是一个非常复杂的多体问题。于是天文学家们就将问题简化，理论上将其他所有的行星打碎，变成围绕太阳的环形的均匀质量，而且这些质量落在同一个黄道平面上。根据这样的简化模型计算得到的水星近日点移动的理论值为每一百年532弧秒，结果居然非常接近实际观察的数值的剩余量575弧秒，误差仅仅43弧秒，相当于575弧秒的8%，5600弧秒的0.8%。 广义相对论的辉煌成绩之一就是算出了这剩下的0.8%。所以，说经典物理无法解释水星近日点的移动是不符合事实的。事实是，经典物理学能够解释水星近日点的移动的。只是由于问题过于复杂，只能诉诸过于简单的模型进行近似计算，才使得经典理论的计算数值只相当于实际观测值的99.2%，而广义相对论计算的结果只相当于实际观测值的0.8%。应该说，经典理论的成绩相当不错。 那么，广义相对论计算出来的0.8% 有没有意义呢？没有。除非实验观测和经典理论计算的误差大大小于0.8%,否则广义相对论计算出来的0.8% 的修正量便没有丝毫意义，这是误差理论的常识。相对论维护者要想确立相对论对水星近日点移动的解释的实质意义，就必须证明经典模型所引起的误差大大小于0.8%。 可是从来没有任何人对经典计算中过分简单的模型可能产生的误差做过误差分析。这种误差分析也没法做。按常理分析，这种过分简单的模型产生的误差非常可能超过10%。理由是：1）将行星简化为均匀的物质环是非常粗糙的模型，和绕太阳转的行星相差太大。行星的运动是动态的，集中的行星质量和水星的作用也是动态的不均匀的，而均匀的物质环是静态的；2）我们对行星的质量的测量不精确，对水星和土星质量的测量值仅有两位有效数字，误差大于1%；3）将所有的质量环放在同一个黄道平面上和事实不符。到底误差多少很难估计，除非解决了多体问题得到精确结果后才能知道。有些教科书或网站上列出五位有效数字的计算结果，给人以误差不到万分之一的假象。其实这五位数字仅仅是计算时保留的有效数字，他不反映因为模型简单化带来的误差。 一般相对论教科书提到此事时都不谈误差分析，不提及数学模型问题。更多的书索性不提经典计算的那部分。只说“牛顿力学不能解释水星近日点移动问题，而广义相对论能够精确地计算出水星近日点的移动（43弧秒）。这说明经典力学需要修正，说明广义相对论正确”。给不知情的读者的印象是，水星近日点的移动每百年只有43弧秒，而不是5600弧秒。比如托尔曼就說“实验观测的数值為43弧秒，正好与广义相对论计算的数值吻合”[6]。这是非常不诚实的说法。正确而公正的报告应该是： 实际观测到的水星近日点移动为每一百年5600弧秒； 用经典理论近似计算得到的数值为5557弧秒；误差為43弧秒，小于0.8%；经典理论计算数值包括因地球坐标系转动造成的5025弧秒和因各行星造成的532弧秒； 用相对论计算得到的数值为43秒；相當于实际观测数值的 0.77%，誤差为实际观测数值的99.2%, 誤差等于相对论計算結果的130倍。 此外，还有其他可能造成水星近日点移动的因素，比如太阳本身并不是完美的球体，而是一个扁球体，而且因为不能假定太阳体内质量分布均匀，所以它的总体偏心率可能比观测到的光球面的偏心率大。这就很容易造成1%的贡献。有人认为广义相对论计算出的水星近日点移动的数值正好等于经典理论计算的微小误差不过是巧合 [5,7]。总而言之，仅仅因为广义相对论算出了0.8% 的移动，就把它当作实验证据，是非常不严肃的。 因为广义相对论的这个实验证据不太雄辩，所以有人建议发射一个人造行星围绕太阳转[5]，其轨道必须设计得具有很大的偏心率。因为难度实在太大，无法付诸实施，否则又将是一个烧钱的超大型项目。 五）广义相对论的第二个实验检验—引力使光线弯曲 广义相对论的另一个重要预言是引力能使光线弯曲。我们先考察一下这个概念本身是否有道理。 根据麦克斯韦电磁场理论，光就是电磁波。光波的传播速度取决于传播媒质的介电常数和磁导率，和引力是否存在毫无关系，因为在麦克斯韦电磁场方程组里面根本就没有万有引力的位置。如果强行在麦克斯韦电磁场方程组里面塞进万有引力，就将万有引力场和电磁场耦合起来了，因而它们也就不是独立的基本作用力了。可是无论从经典理论还是20世纪的理论物理的角度来看，万有引力和电磁力都是相互独立的基本作用力，万有引力场和电磁场耦合的概念都是没有根据的。 如果将光子看成是粒子，万有引力会不会对光子的运动产生作用呢？也不会。因为万有引力和相互作用的粒子的质量成正比。光子的质量等于零，因此任何物体对它的万有引力都等于零，也就不可能影响其传播方向。 许多不了解广义相对论的朋友误以为引力使光线弯曲是从黎曼几何严格推导出来的结果，而不知道这又是根据两个假设得出来的。第一个假设是：质量等于零的光子在引力场中的运动也像质量不等于零的物体一样，沿着引力场中的短程线运动。第二个假设是：在狭义相对论中没有引力存在的情况下的光线方程ds = 0也适用于引力场中的短程线方程。根据这两个假定，可以从短程线方程得出引力使光线弯曲的结论。 实验观测光线是否会被引力弯曲的最好办法似乎是日全食的时候照相记录太阳附近的恒星位置的变化，因为日全食时天空一片黑暗，摄影效果好。有些物理学家也确实这么做了。1919年，爱丁顿派出两个实验组去巴西和圭尼亚作日食观测实验，宣布实验结果证实了广义相对论的预言 [8]。泰晤士报立即在头版登出广义相对论被实验证实的消息，大肆炒作，成为相对论为公众接受的最重要原因之一。爱丁顿也因此成了名重一时的相对论权威。 爱丁顿忘记了一个重要情况，就是太阳日冕对光线的折射。太阳表面结构比我们看到的图像复杂得多。我们看见的其实只是太阳的“光球面”。光球面外面是大约5000公里厚的“色球面”。色球面外面是“日冕”，日冕比色球面厚得多，可见部分约一万公里，不发光的部分一直延伸到星际空间几千万公里。日冕外面还有太阳风。掠过太阳表面的光线会因为折射而弯曲。太阳的直径比地球大一百倍，日冕的物质密度也比地球上的空气厚得多。掠过太阳的光线受日冕折射而弯曲的程度比地球大气层对太阳光的折射也要大得多。根据实验物理的原则，要得到光线因引力而弯曲的实验证据，应该在总的观测数据中减去因为色球和日冕折射而造成的弯曲并剔除其他可能的原因，或者找一个没有外层大气的天体（比如月亮）来做实验。否则这种所谓的“实验证据”就是假的。在爱丁顿和后来观测日全食的实验工作中，都完全没有对日冕折射造成的光线弯曲的独立测量和分析。 所谓“广义相对论关于引力使光线弯曲的预言已经被实验证实”的宣传完全是谎言。 上部完，还有下集，待续 |
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偏折角度与大气层的厚度无关，只与绝对折射率相关。事实是日食时多次观测的结果、掠过太阳表面的星光偏折从1.57″到2.73″不等。而地球大气的折射最大有2′以上。
是的，按牛顿力学，就必须假定光子有质量，根据太阳表面的逃逸速度计算，应该是偏折0.87″。 |