广义相对论百年

王令隽    2015年二月

         爱因斯坦于1915年发表广义相对论，至今一百年了。这是物理学界见证翻天覆地变化的一百年。整个物理学的理论系统，逻辑系统和思维哲学在20世纪都翻了 一个底朝天。此前的经典物理学的时空理论，波动理论，粒子概念，势场概念，质能观，宇宙观，因果率，认识论，形式逻辑，科学实证主义等等，全都被彻底颠覆 了。这种翻天覆地的变化是由十几个理论明星造成的。爱因斯坦无疑是众多明星中的巨星。如果从物理理论本身的结构来看。20世纪理论物理的两大支柱是相对论 和量子理论，从中生长出了宇宙学和粒子物理。爱因斯坦只手撑起了相对论这根支柱，发展出了20世纪的宇宙学。同时，因为相对论的协变性原理和质能等价原理 被引进到量子场论，其对微观物理的影响至深至巨。说爱因斯坦是对近代物理影响最大的里程碑性的人物，确实是实至名归。至于这种影响是功是过，则取决于20 世纪理论物理的宏观理论和微观理论的对错，取决于对经典物理的彻底颠覆的对错。而是非对错的判断最终落实到20世纪理论物理对于科学的其他分支到底是否起 到了基础理论的作用，对科学其他分支的发展有没有起到推动作用。对此，我在一系列文章中有过一些分析和讨论。我想在这篇文章中着重谈谈广义相对论的问题。 因为涉及黎曼几何，所以我想力图用一般科学工作者能够接受的语言将广义相对论的基本脉络，主要预言，实验检验，存在的问题，以及对宇宙学和一般物理科学的 影响作一个大致的介绍，希望抛砖引玉，邀请学界同仁一起来对一百年来的理论物理做出认真的总结评估，使新世纪的物理学沿着健康的道路发展复兴。

对于广义相对论这个名词，有些学者有些异议 [1,2]，认为应该称为几何动力学（Geometrodynamics），理由是爱因斯坦的引力理论和狭义相对论没有太大关系。他们认为爱因斯坦引力场 方程是基于空间弯曲产生引力的思想直接建立在黎曼几何之上的理论，不是从狭义相对论推广而来。这种看法有些偏颇。黎曼几何只不过是数学工具。如果以数学工 具来命名一个物理理论，那牛顿的万有引力理论岂不是要称为“代数动力学”？爱因斯坦之所以将他的引力理论称为广义相对论，是因为他知道广义相对论的一些关 键概念是从狭义相对论继承推广而来的：1）在广义相对论中，时间间隔不是由 dt来量度，而是由时空间隔 ds 来量度。这是直接从狭义相对论继承下来的假定；2）光速不变原理也是从狭义相对论继承下来的假定；3）广义相对论的能动量张量是从狭义相对论的能动量矢量 和相对论电动力学中的能动量张量继承而来。这对引力场方程的建立至关重要；3）等效原理假定引力时空中的任何一点都可以定域地变换到平坦的闵可夫斯基时 空。这些都说明从狭义相对论到广义相对论的基因传承。这种基因传承当然是在爱因斯坦的子宫或者大脑中完成的。

一） 爱因斯坦引力场方程的建立

爱因斯坦的引力方程受到两个主要思想的启发。第一个是马赫原理，第二个是引力使空间弯曲的思想。马赫原理认为：一个物体的惯性行为由全宇宙的能量- 动量所决定。这种将地球上的现象归因于远在宇宙边际的物理量的“原理”本质上是星相学的，而且没有量化的表达式。所以有些学者为了维护相对论的声誉，尽量 淡化马赫原理对广义相对论的影响。比如奥哈尼安说：“虽然爱因斯坦理论确实表明惯性对质量分布的某种依赖，事实上马赫原理对这一理论的影响是非常小的。” [2] 但是奥哈尼安无法否认，爱因斯坦确实是根据马赫原理，将能动量张量放在他的引力方程的一边。至于方程式左边表示引力的张量，根据引力使空间弯曲的思想，他 认为应该和时空的曲率张量有关。这就是他建立新的引力方程的基本思想。很显然，这样的方程一定是一个张量方程。

但是曲率张量是一个反对称的四阶张量，有256个分量（21个是独立的），而能动量张量是一个对称的二阶张量，只有16个分量（10个是独立的）。 不同阶的张量显然不可能相等。所以必须把曲率张量收缩成一个二阶的张量。张量的收缩纯粹是一个数学操作。我们知道零阶张量是一个标量，一阶张量是一个矢 量，二阶张量是一个方矩阵。如果将一个方矩阵的对角线上的矩阵元加在一起，就得到一个标量，叫做矩阵的“迹”。这个数学操作把一个二阶张量收缩成了零阶张 量。对高阶张量的收缩也类似。每一次收缩都会将张量阶数降低二阶。所以，将四阶的曲率张量收缩一次就得到一个二阶张量，称为里奇张量。

不过，直接将里奇张量等于能动量张量也不行，因为能动量张量的散度等于零，而里奇张量的散度不等于零。为了满足方程式两边散度相等，可以将里奇张量 减去度规张量乘以曲率的一半，得到一个新的二阶张量，叫做爱因斯坦张量。爱因斯坦引力方程就是：爱因斯坦张量等于能动量张量乘以一个常数：

(1)    G_μν = k T_μν

(1a) G_μν = R_μν – (R/2)g_μν

此处 R_μν 为里奇张量，g_μν 为度规张量，G_μν 为爱因斯坦张量，T_μν 为能动量张量，R 为黎曼曲率标量。爱因斯坦是这样来确定常数k的：在弱引力场的近似条件下，他的张量方程应该能够给出牛顿万有引力公式。这个“线性近似”条件要求：

(1b) k = – 8π G/c⁴

此处c为光速，G 为万有引力常数。在理论物理中为了方便，常用一种“自然单位系统”。在这种系统中将光速和普朗克常数设定为1。如果采用这种自然单位系统，方程式（1b）中的 c 就等于一，比较简单。

(待续)