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惯性质量为什么会等价于引力质量 作者 张祥前 牛顿力学的核心是质量概念。牛顿力学认为，力是改变物体运动状态的原因，物体受到了力的作用产生的加速度与物体的惯性质量成反比。牛顿万有引力认为，宇宙任何两个物体都是相互吸引的，吸引力的大小与它们的引力质量成正比，与它们的距离的平方成反比。 惯性质量反映了物体不容易加速的程度，而引力质量反映了影响别的物体的能力。在牛顿力学中这两种质量被认为是等价的，牛顿自己做了实验来验证，牛顿的实验精确度不高，现代实验的精确极高，验证了惯性质量等价于引力质量，至于为什么惯性质量等价于引力质量？这个问题困扰了人类几百年。 统一场论【百度 统一场论4版可以搜到】的出现，可以彻底解释这个问题。如果对这篇文章感兴趣，建议看看统一场论4版，熟悉统一场论的一些背景知识，否则，很难理解这篇文章。 要精确的回答以上问题，我们首先讨论分析质量的本质，给质量一个精确的定义。 统一场论认为物体周围空间本身时刻以柱状螺旋式在运动，提出了三维时空方程。统一场论认为时间是空间以光速运动形成的，三维空间任意的一维，以光速相对于我们观察者运动，都可以叫时间。 时间的本质是空间以光速运动给我们观察者的一种感觉。在统一场论中，为了描述空间本身的运动，把空间分割成许多小块，每一小块空间叫空间几何点，简称几何点。借助几何点的概念，统一场论认为： 时间于观察者【或者和观察者静止的物体】周期空间几何点以光速直线运动走过的路程成正比。 在三维螺旋时空方程中，指出了物质点周围空间的基本运动形式为柱状螺旋式运动，而柱状螺旋式运动可以看成旋转运动和旋转垂直方向直线运动的叠加。 我们在这里首先指出重力场与光速直线运动空间之间的关系，并用光速直线运动空间给出重力场、质量的定义，然后再指出重力场与旋转运动空间的关系。 首先说明，我们在这里给出重力场和质量的定义都是没有什么特别依据的，只是以这个定义为基础，展开推理，看看所得的结果和我们已经掌握的知识是否相符合，来判断这些定义是否正确。 我们把质点的质量和周围的重力场与质点周围空间本身的运动联系在一起， 首先我们大致判断一下，重力场反映了质点周围局部空间的运动情况，可以是矢量，而质量是质点周围整体空间运动情况，所以只能是标量。 下面我们首先用光速直线运动空间来定义重力场。 设想有一个物质点O相对于我们观测者静止，周围空间中任意一个空间几何点P在零时刻以光速率C从O点出发，沿某一个方向直线运动，经历了时间t，在t'时刻到达P所在的位置，由O点指向P点的矢径为r = C t【r】，【r】为沿r 方向的单位矢量。让点O处于直角坐标系xyz的原点，几何点P的矢径r 是空间位置x，y，z的函数，随x，y，z的变化而变化，记为： r = r（x,y,z,）。 在我们观测者看来，物质点O具有质量m是指周围有n条类似矢径r 的几何线，呈辐射状均匀分布，m和r 的标量长度 r 的乘积反映了O点周围光速运动空间的流量 I， I = m r 在O点周围我们以r 的长度 r = R为半径作一个高斯包围面S = 4 π R²包围O点【注意，r 和R虽然数量相等，但是二者是有区别的，r是几何点的位移r的长度的数量，而R是高斯面的半径。把运动空间看成是水流，r就是水流的沿某一个方向流动的长度，而R如同我们随着水流测量的卷尺】， 我们再把S分割成n块，每一块小面积dS上有dn条类似矢径r 的几何线垂直穿过。 令A = dn /dS 矢量式为：A · dS = dn dS 为矢量面元，我们规定dS 指向S内侧为负，外侧为正。 对式 A · dS = dn 两边积分，结果为km =∮A ·dS = n 以上k是比例常数，∮为包围O点封闭曲面积分，A 就是重力场，A 是矢量，方向可以由矢量面元dS 给出。 以上n和S是两个相对应的变量，重力场A是n关于S的导数，而质量m是S取固定值4 π R²时，n 相应的有一个固定值对应，所以，质量m是常数【这个是在质点相对于我们静止情况下】。 以上重力场几何形式方程没有空间位移r ，为了把r引入重力场方程中，我们把高斯球面S换成界面是S的球体，就是靠在S内部的球体。并且把重力场方程A = dn /dS 右边点乘一个单位矢量r/r, 由于r 方向和重力场A的方向一致，所以，重力场方程A = dn /dS 可以改写为： A = dn r / r dS 由于r是垂直穿过面元dS，所以r dS是以dS为底，高为r的长条形四方体体积【在微小曲面dS很小，近似为平面情况下】。 由于r 的数量r = R ，所以，方程A = dn r / r dS可以改写为： A = dn r / R dS 在这里我们可以引入立体角Ω概念，把O点作为顶点，把dS作为底面，构成一个四棱锥体H，如下图。
H的体积为dΩR³/3, 由于R dS是H体积的3倍，所以， A = dn r / dΩ R³ 如果在dn不变, 相应的立体角dΩ也不变的情况下，我们现在考虑r沿径向变化，高斯面S内部球体随着扩大，这样r的变化和dΩR³的变化有着对应关系，二者取微分，有下式， A = dn dr / dΩ dR³ 或者，A = n d²r / 3 dΩ R² 式中dΩ R²就是高斯面S其中的一微小部分dS，如果dΩ R²取一个适合的值，可以使n = 1，所以有下式成立： A = d²r / 3 dΩ R² = = d²r / dS = d²r / 3 Ω d R² 以上公式表示几何点的位移随空间位置变化同样可以反映出重力场情况。空间位移随时间变化，也意味着会随空间位置变化，是由这个公式可以解释牛顿力学中惯性质量等于引力质量。 上式中的高斯面S的半径R随着r = R = Ct以光速扩大，由于时间于空间几何点的位移r走过的路程成正比，也就是r = Ct【r】，作个置换，A = d²r / 3 Ω d R²可以写为： A = d²r / 3 Ω d（Ct）² = d²r / 3 Ω d C² t² = d²r / 3 Ω C² dt² 合并常数，结果为：A = d²r / 常数 dt² 牛顿力学中地球表面的重力加速度就是地球表面的重力场，可以用上式表示，牛顿力学中的常数为1。所以A = d²r / dt² 我们还可以从一个极限或者趋势分析来理解惯性质量和引力质量的等价性。 设想，地球上空一个卫星围绕地球旋转运动，这个卫星指向地球的向心加速度可以反映出卫星所在的空间区域的重力场，这个重力场是由地球的万有引力产生的。 我们现在把卫星做的很小，这个卫星的加速度仍然可以反映地球在这个地方的重力场，我们设想，这个卫星造的非常小，小到最后，变成了接近零，仍然可以反映卫星所在的位置由地球产生的重力场情况。 最后，没有了卫星，只是几何点，几何点的加速度仍然可以反映几何所在的位置由地球产生的重力场情况。 这种趋势分析告诉我们，重力场同样可以用空间本身加速度来表示。 借助场论高斯定理，我们可以用散度更清楚的刻画质量和重力场的几何性质。 把式km = ∮A·dS = n在直角坐标xyzo上展开。设A在坐标xyzo上的分量为Ax,Ay,Az 。 矢量面元dS的分量dydz i, dxdz j , dydx k 由高斯定理得： ∫∫∫v（∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂xz ）dv =∫∫s（Ax dy dz ）+（Ay dx dz）+（Az dy dx ）= n 上式透露出许多信息给我们，上式直接的物理意义是： 方程∫∫s（Ax dydz ）+（Ay dxdz）+（Az dydx ）= n告诉我们，重力场可以表示为单位面积s上垂直穿过几何线的条数，也可以表示为单位面积内分布运动几何点的个数。 而方程∫∫∫v（∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂xz ）dv = n 告诉我们，在运动变化的空间中，重力场也可以表示为单位体积v内运动的几何点的个数，或者n个运动几何点位移的位移量。 当这个单位体积v发生很微小的变化，变化的部分可以看成是v的界面，可以用曲面s表示，在v上重力场的分布情况可以保留在s上，由v上的重力场分布情况可以求出s上的重力场分布。 这个意味着重力场是空间连续运动变化相对于我们观察者所表现出的一种性质。 把上式用散度概念表示，设O点的质量m和包围O点的高斯曲面S内体积v的之比为u, 当我们考察S和v趋于无限小的情况下，则式 km =∮A·dS =∫∫s （Ax dydz ）+（Ay dxdz）+（Az dydx ）= n 可以表示为： ▽·A = 4πGu 上式表示在体积v内包围了运动的几何点的数目的多少【或者是n条几何位移线r = Ct】反映了质点O的质量大小。 G为万有引力常数，如果有许多空间几何点连续不断的从无限远处越过曲面S垂直穿进来，汇聚到O点，形成许多几何点的位移线，则这些位移线的条数反映了O点具有负质量的大小。统一场论预言了负质量概念。 质量和重力场都反映了物体周围空间光速运动的运动情况，首先有一个前提条件，静止物体周围空间的直线运动都是光速运动，如果静止物体周围空间直线运动不完全都是光速运动，那我们以上以物体周围空间运动几何点的条数来考察空间的运动量，来定义物体的质量就没有意义了。 质量和重力场都是一个比值，质量反映了质点周围单位体积内运动空间的运动量，或者说质量反映了质点周围单位体积内运动的几何点的个数。 而重力场反映了物体周围局部的、很小的空间运动情况，所以，质量只能是标量，来自于积分方程，而重力场是局部空间运动情况，所以可以是矢量，来自于微分方程。 质量和重力场都反映了物体周围空间的运动量，以一个喷水龙头为例，一个喷水龙头向四周均匀的喷水，质量是考察了这个喷水龙头在单位体积里向四周喷水的喷水量，而重力场考察了喷水龙头向某一个方向在一段直线距离内喷水的喷水量。
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