还是先读一段书：

如果一个观察者相对于无穷远处频率为f的光源以速度v运动，
设“光源—观察者”间的联线与观察者(在与光源相对静止的坐标系中)
的速度方向之间的夹角为φ，则观察者接收到的光频率f'由下列方程确定：
f'= f[(1-cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
这就是对任何速度都成立的多普勒原理．
当φ=0，这方程具有以下明晰的形式：
f'= f √[(1-v/c)/(1+v/c)]
我们看到，与通常的观点不同，当v=-c时，f'=∞.

引自：
《相对论原理》 （狭义相对论和广义相对论经典论文集） ,
A.爱因斯坦等 , 1980年2月第1版 , 第49页，（超星下载）

如果假设爱氏的推导过程无误，那么这里似乎有个“初级错误”：
当v=-c时，f'=∞ ？
“当v=-c时”的物理意义是：
当v的大小等于c，且v方向与c相反时，即是“远离”的情况，
（观察者与光源相互远离）
都知道在这种情况下，应该是f'=0，怎么会有：f'=∞ 呢？

而且现在教科书上给出的公式是：
f'= f √[(1+v/c)/(1-v/c)]
这与爱氏给出的公式符号是相反的，是爱氏的推导错了一个符号吗？

=======================================================

还有一个问题：
f'= lim (当v-->±c时) f[(1-v/c) / √(1-vv/cc)] =0
（0/0型，可用洛比达法则求得）

可是经过恒等变换后有：
f'= lim (当v--> +c时) f √[(1-v/c)/(1+v/c)] = 0
f'= lim (当v--> -c时) f √[(1-v/c)/(1+v/c)] = ∞

怎么经过恒等变换后的两个公式的极限却发生了变化呢？
应该以那个公式的极限为准呢？
按说应该以变换前的公式的极限：
f'= lim (当v-->±c时) f[(1-v/c) / √(1-vv/cc)] =0
为准比较可靠一些？
因为这里经过了“根式变换”，虽然看上去属于恒等变换，
可是这个“根式变换”也常会出现一些符号的问题？
可是问题出在哪里呢？我看不太出来，还请各位指点，
总不会是“洛比达法则”有问题吧？

替Yanghx先生纠正：在f'= f[(1-cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]中，由于速度的方向已由cosφ包含，所以v是绝对值（始终大于0）。

Yanghx说的情况是：cosφ＝－1，v=c.

还是先读一段书：

如果一个观察者相对于无穷远处频率为f的光源以速度v运动，
设“光源—观察者”间的联线与观察者(在与光源相对静止的坐标系中)
的速度方向之间的夹角为φ，则观察者接收到的光频率f'由下列方程确定：
f'= f[(1-cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
这就是对任何速度都成立的多普勒原理．
当φ=0，这方程具有以下明晰的形式：
f'= f √[(1-v/c)/(1+v/c)]
我们看到，与通常的观点不同，当v=-c时，f'=∞.

【【【【【当观察者以光速远离光源时，其实φ=180度，cosφ=－1，v＝c。上面公式中，速度v始终是一个正数，速度方向与正负号由cosφ决定。】】】】

[[这种不一致算不上什么错误，只是公式不是上下文独立的而已。
而且有物理常识的人一看用的哪一个式子就知道v的符号是怎么规定的。
阁下真是吹毛求疵啊！]]

这可不是吹毛求疵？好象有些问题，
或许由爱氏的推导得不出教材上说的：
f'= f √[(1+v/c)/(1-v/c)]，
而只能得到：
f'= f √[(1-v/c)/(1+v/c)] ？？？
v=c和v=-c都是有很明确的物理意义的，
总不能有两套自相矛盾的符号规则吧？

=======================================================
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还有一个问题：
f'= lim (当v-->±c时) f[(1-v/c) / √(1-vv/cc)] =0
（0/0型，可用洛比达法则求得）

[[当v-->-c时，不是0/0型而是2/0啊！您才在犯低级错误呀！]]

是了，这是我看错了，经常糊涂，多谢指正，
不过你对下面的结果怎么看呢？能否再指点、探讨一下：
f'= lim (当v--> +c时，接近) f √[(1-v/c)/(1+v/c)] = 0
f'= lim (当v--> -c时，远离) f √[(1-v/c)/(1+v/c)] = ∞

你说的结果和我说的一样，远离的情况cosφ=－1，v＝c是：
f'= f{[1-(-1)*v/c] / √(1-vv/cc)}
=f[(1+v/c) / √(1-vv/cc)]
=f √[(1+v/c)/(1-v/c)]
=f √[2/0]
= ∞
这是频率紫移吧？不是红移？
可“远离”的情况cosφ=－1，v＝c时，应该是频率红移（f=0）呀？
怎么回事，是我晕了？

现在教科书上给出的公式是：
f'= f √[(1+v/c)/(1-v/c)]
当v=-c时是：
f'= f √0/2 =0
这是对的，可怎么会与爱氏的推导差着一个符号呢？
是否由爱氏的推导得不出教材上说的：
f'= f √[(1+v/c)/(1-v/c)]，
而只能得到：
f'= f √[(1-v/c)/(1+v/c)] ？？？
这可有点不对了吧？

-------------------------------------------
另外，
如果假设远离时：cosφ=－1，v＝-c
则：
f'= f{[1-(-1)*(-v)/c] / √(1-vv/cc)}
=f[(1-v/c) / √(1-vv/cc)]=0

可是当接近时：cosφ=1，v＝c
f'= f{[1-(+1)*(+v)/c] / √(1-vv/cc)}
=f[(1-v/c) / √(1-vv/cc)]=0
两种情况的洛比达极限结果相等，这也不可能？

是了，这是我看错了，经常糊涂，多谢指正，
不过你对下面的结果怎么看呢？能否再指点、探讨一下：
f'= lim (当v--> +c时，接近) f √[(1-v/c)/(1+v/c)] = 0
f'= lim (当v--> -c时，远离) f √[(1-v/c)/(1+v/c)] = ∞

[[我已经跟您说了嘛，有点物理常识的人都知道接近时是蓝移，所以第一个公式与第二个公式用反了。我没有看您说的教材，您再理解一下公式的上下文吧。

不过有帖子说那个带角度的公式的v始终是正值，方向由φ决定也是不准确的，上下文中应该还有一个φ=0时v的方向规定，即φ=0时正的v是远离还是接近]]

我认为这并不是很复杂嘛，
好象是个初级问题？还要看上下文吗？
下式中分子的符号肯定是错了：
f'= f[(1-cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
应该是：
f'= f[(1+cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
才能化简成：
f'= f[(1+v/c)/(1-v/c)]
这样当v=-c时有（远离）：
f'= f[(1+v/c)/(1-v/c)]=0，
这是现在任何一本教材上给出的公式呀，不是我看的那本教材的问题吧？

如果说是印刷错误的话，那就是连续两次印刷错误，
一个错误是1+v/c的符号错印成了1-v/c，
然后又把v=c错印成v= -c？ 这种可能性似乎不大？
那就可能是爱氏的推导中出了问题，
总之对于爱氏给出的下式：
f'= f[(1-cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
当v=-c时（远离），f'=∞（紫移）显然是个初级错误？

[[[[哈哈哈，原来是这样！v在这里不是速度，而是速率，这个速率与那个φ合起来才能构成速度矢量（极坐标表示法）。您既然将φ取为了0，又将v取成负数，这就是一个错误了。]]]


那么承认下面这个公式的正确性有何意义呢：
f'= f[(1+cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
这样在纵向的情况下有：
f'= f[(1+v/c) / √(1-vv/cc)]
当v接近c，v=c“接近”时有：
f'≈ f[ 2 / √(1-vv/cc)]= f / √(1-vv/cc)
由于不是0/0不定型求极限的问题，所以更简单明了一些，
即在此情况下：频率膨胀，周期收缩：
f'= f / √(1-vv/cc)
T'= T * √(1-vv/cc)
（注意这是观察者运动的情况，所以固有周期是T，观察周期是T'）

至于横向多普勒的情况在匀速直线运动中只有一瞬间满足“横向”的要求，
即当φ=90度时的一瞬间有：
f'= f / √(1-vv/cc)
而圆周运动是加速运动，并不一定适用于多普勒的情况？
多普勒效应是对匀速运动而言的吧？不是对变速（方向改变）运动而言的？
或许光多普勒公式也适用于加速运动？不会吧？

[[[当然适用，只不过是用瞬时速度]]]

好了如果你认为我的解释：

“v在这里不是速度，而是速率，这个速率与那个φ合起来才能构成速度矢量（极坐标表示法）。您既然将φ取为了0，又将v取成负数，这就是一个错误了”

还不能说服您，那我真的没办法了。

就算教材在这点上弄错了，也不是相对论错了，是吧？

<font color=#ff0000>您最先写道:</font>

还是先读一段书：

如果一个观察者相对于无穷远处频率为f的光源以速度v运动，
设“光源—观察者”间的联线与观察者(在与光源相对静止的坐标系中)
的速度方向之间的夹角为φ，则观察者接收到的光频率f'由下列方程确定：
f'= f[(1-cosφ*v/c) / √(1-vv/cc)]
这就是对任何速度都成立的多普勒原理．
当φ=0，这方程具有以下明晰的形式：
f'= f √[(1-v/c)/(1+v/c)]
我们看到，与通常的观点不同，当v=-c时，f'=∞.

引自：
《相对论原理》 （狭义相对论和广义相对论经典论文集） ,
A.爱因斯坦等 , 1980年2月第1版 , 第49页，（超星下载）

<font color=#ff0000>从几何上讲，“光源-观察者联线”应理解为从光源到观察者的射线，也就是说观察者相对于光源的速度v与光线的夹角φ是以这条射线为角度的起始边的。φ=0时，就是说速度v是沿着射线方向，也就是远离光源的，对应着蓝移，哪有错啊？您说-v的含义是什么呢？是朝向光源运动，速率为v？如果是这样，那公式中的φ=180度，cosφ=-1，公式中的v是速率，得用正值。没有矛盾啊！</font>

原来如此，是观察者的速度v，那就对了，多谢，
我总想的是光源运动的情况，
不过光源运动与观察者运动是用的同一个公式呀，
是否这个公式对于光源运动就不适用了呢？

观察者运动时是v= -c为“接近”，
可是光源运动时是v=c为“接近”，
这么说对于光源运动的情况要变一下符号，用下面这个公式：
f'= f[(1+v/c) / √(1-vv/cc)]
没错吧？ “时慢公式”的证明一般都用的是闪光光源的运动， 所以我总在想这种情况，看来好象是差着一个符号？ 或者对于观察者运动的情况， 实际就是“第三者”看到的经典多普勒公式？ 其形式如同声多普勒公式？

φ角是有明确定义的，谁指向谁都是一样的，
只要运动方向射线与两者连线间的夹角φ=0，
就有cosφ=+1

“反正速度是相对的，认为光源动和认为观察者动是一样的。 “
这是现在的一般说法，好象有问题，