从数学的坐标变换到伽利略变换

摘要：从伽利略变换的推出过程可以看出，两个相对匀速运动的惯性系之间的与实验相符合的坐标变换是伽利略变换且只能是伽利略变换，从而间接证明了它不可能是洛伦兹变换。

关键词：坐标变换  相对性原理  变换不变量  伽利略变换  洛伦兹变换

坐标变换原本是数学概念，指某质点在两个坐标系的空间坐标之间的对应关系，这种关系是用一种函数表述的。例如，点P在S、S`两个平面坐标系上的坐标值之间的对应关系可以用下面两个函数x`=f（x,y）、y`=g(y,x)表述。

表述质某点在两个平面坐标系上的坐标值之间的对应关系的函数可以有无限多种，不过，我们感兴趣的只有有限的几种，最常见的是保持几何图形形状不变的那几种。保持几何图形形状不变的方法是把图形平移或旋转，因此，把这一类变换叫做坐标轴的平移或旋转变换，它的变换方程应该是线性的。

在物理学中，经常用函数描述物体的运动规律。物体的运动规律往往可以用坐标上的曲线形象的描绘出来，这就促使我们猜想描述物体运动规律的曲线是否也有坐标变换问题。

在数学中，两个坐标系是静态的，没有时间量参与，变换没有物理意义，所有的平移、旋转变换（即线性变换）都符合保持几何图形形状不变的要求。在物理学中，两个坐标系是动态的，有时间参与，变换有实际物理意义，它与具体物理事件相联系，我们把坐标系改称为惯性参照系。因为它与具体物理事件相联系，所以，变换式既要符合物理逻辑又要经受实验的检验。这就要求，必须根据两个惯性系的相对速度、因果律、形式逻辑等前提确定变换关系式。如何确定呢？

既然是物理学中的变换，那么变换就要涉及物理量的变换。确定物理量的变换要从分析具体问题入手。运动学只涉及时间、空间两个物理量，比较简单，下面就从分析最简单的问题（两个惯性系相对速度的方向与x轴的方向相同大小为v的运动学问题）开始。

先看时间这个物理量的变换。

既然是求两个惯性系之间的变换，那么我们首先就要已知两个惯性系。

已知两个惯性系的意思是已知：S、S`两个惯性系的时钟都是相同的，对应的坐标轴相互平行，S`在S系中以速度v沿x轴的正方向运动，S与S`惯性系的原点重合时刻两个原点处的时钟都指示零点，S惯性系的时钟是校过零点的（即S系的时钟都是同步的），S`惯性系的时钟是校过零点的（即S`系的时钟都是同步的）。

由S系的时钟都是同步的、S`系的时钟都是同步的可以推知同时是绝对的，也就是说，时刻必须是个变换不变量，于是可得t`=t。进而可推知时段（时间间隔）也必须是个变换不变量。

再看空间这个物理量的变换。

所谓空间距离就是惯性系中两点之间的距离。惯性系是以刚体为骨架的，根据约定，刚体的形状是不变的，所以空间距离是个变换不变量。另外，两个惯性系之间只有相对运动没有任何相互作用，根据因果律，作为惯性系骨架的物体的长度不可能变化，也就是说，空间距离不可能变化，即空间距离是个变换不变量。

线性式是最简单函数关系式，根据节约原则，即简单原则，变换应该首选线性式。

因为变换方程是线性的，所以变换方程应该是如下形式x`=ax+bt。

余下的任务是确定待定系数a、b 的值。

因为S、S`的原点重合时刻t`=t=0，S`在S中的速度是v，根据同时是绝对的可以证明S在S`中的速度是-v。所以S系的原点0在S`系的坐标是x`= -vt`, 于是可得b= -v。因为空间距离是变换不变量，用t=0时刻S系的x与S系的x`重合，代入x`=ax+bt可得a=1。根据空间距离是变换不变量，可得y`=y、z`=z。`

最后得变换方程组是：x`=x-vt------(1) ，y`=y------(2)`z`=z------(3)，t`=t------（4）。

这就是我们按照严密的逻辑推理推导出的相对做匀速运动的两个惯性系之间的坐标变换方程，它与伽利略变换完全相同，可以说就是伽利略变换。伽利略变换已经经受过无数实验的验证，证明了它是正确的。也可以说，在已知相对做均速运动的两个惯性系的情况下，这两个惯性系之间的坐标变换只能是伽利略变换，不可能是其他的变换（当然包括洛伦兹变换）。

{最后说点题外话。如果在推导两个相对运动惯性系之间的坐标变换的前提条件中再增加一条光速不变，看看会出现什么问题。

按照爱因斯坦的做法，为了使变换符合光速不变这一前提条件的要求，就要承认同时是相对的（爱因斯坦根据光速不变原理借助火车闪电思想实验推导出了同时是相对的）。我们前面已经根据‘已知两个惯性系'推导出了同时是绝对的，这样，爱因斯坦就陷入自相矛盾之中。

如此看来，如果在推导两个相对运动惯性系之间的坐标变换的前提条件中再增加一条光速不变，我们就不可能推导出任何变换（当然也包括洛伦兹变换）。}