第一课：了解洛伦兹变换方程组

 设两个参考系分别为S系和S'系，它们相应的笛卡尔坐标轴彼此平行，S'系相对于S系沿x轴的正方向运动，速度为v。现有某一时空点，对于S系是由横坐标x和时间t来表示，对于S'系则由横坐标x'和时间t'来表示，则该时空点在这两个参考系的时空坐标之间的洛伦兹变换为：
x'＝γ(x－vt) ---(1)
y'＝y
z'＝z
t'＝γ(t－vx/c²) ---(2)
其中，γ＝1/√(1－v²/c²)，v>0

第二课：用洛伦兹变换证明相对性原理，即从正变换推导出逆变换。

由(1)和(2)可以得到：
x＝x'/γ＋vt ---(3)
t＝t'/γ＋vx/c² ---(4)
把(4)代入(3):
x＝x'/γ＋vt'/γ＋v²x/c²
整理后有：
x(1－v²/c²)＝(x'＋vt')/γ
x＝γ(x'＋vt') ---(5)
同样，把(3)代入(4)，可得：
t＝γ(t'＋vx'/c²) ---(6)

(5)和(6)构成洛伦兹变换的逆变换，因此我们证明了洛伦兹变换满足相对性原理

第三课：用洛伦兹变换证明“光速不变原理”，即"在x=ct处有x'=ct'，且在x=-ct处有x'=-ct'"

在：
x=ct .....................(7)
处，把x的值ct代入洛伦兹变换的第一个和第四个方程中，我们就得到：
x'= γ(c-v)t
t'= γ(1-v/c)t
把这两方程相除，即直接得出下式：
x'=ct' ...................(8)

在：
x=-ct ....................(9)
处，把x的值-ct代入洛伦兹变换的第一个和第四个方程中，我们就得到：
x'= γ(-c-v)t
t'= γ(1+v/c)t
把这两方程相除，即直接得出下式：
x'=-ct' ...................(10)

于是，我们就证明了洛伦兹变换满足条件"在x=ct处有x'=ct'，且在x=-ct处有x'=-ct'"。

第四课：用洛伦兹变换证明间隔不变性：x'²-c²t'²=x²-c²t²

从(2)可以得到：
ct'= γ(ct-vx/c) ............(11)

由(1)-(11)，得：
x'-ct'=γ(1+v/c)(x-ct) ......(12)

由(1)+(11)，得：
x'+ct'=γ(1-v/c)(x+ct) ......(13)

把(12)和(13)左右两边分别相乘，得：

x'²-c²t'²=γ²(1-v²/c²)(x²-c²t²)

x'²-c²t'²=x²-c²t² .............(14)

第五课：用洛伦兹变换证明“钟慢尺缩”：t= γt'，x= γx'

由(1)可知，“在x=vt处有x'=0”，把该条件带入(5)，并化简可得：

t= γt'.......................(15)

由(2)可知，"在t=vx/c²时有t'=0"，把该条件带入(6)，并化简可得：

x= γx'.......................(16)

第六课：用洛伦兹变换证明参考系平权：x/t=x'/t'

把(16)和(15)两式相除，即可以得到：

x/t=x'/t'.......................(17)

第七课：用洛伦兹变换证明c+v=c-v (v>0)

把条件"在x=-ct处有x'=-ct'"代入(12)， 可以得到：
-ct'-ct'=γ(1+v/c)(-ct-ct)
-2ct'=-2γ(c+v)t ................(18)

把条件"在x=ct处有x'=ct'"代入(13)，可以得到：
ct'+ct'=γ(1-v/c)(ct+ct)
2ct'=2γ(c-v)t ................(19)

把(18)、(19)两方程相除，即可以得出下式：
c+v=c-v ....................(20)
式中v>0

第八课：用洛伦兹变换证明时空等价性：x²＋x'²＝c²t²＋c²t'²

由(5)和(6)可以得到：
x'＝x/γ－vt' ---(21)
t'＝t/γ－vx'/c² ---(22)

由(3)和(4)可知：
x²－c²t²＝(x'/γ＋vt)²－c²(t'/γ＋vx/c²)²

化简得：
2γv(tx'－t'x)＝(γ²＋γ²v²/c²)(x²－c²t²)－(x'²－c²t'²） ---(23)
由(21)和(22)可知：
x'²－c²t'²＝(x/γ－vt')²－c²(t/γ－vx'/c²)²
化简得：
2γv(tx'－t'x)＝(γ²＋γ²v²/c²)(x'²－c²t'²)－(x²－c²t²） ---(24)

把(23)、(24)两式左右分别相加，得到：
4γv(tx'－t'x)＝(γ²＋γ²v²/c²－1)[(x²－c²t²)＋(x'²－c²t'²）]
因γ＝1/√(1－v²/c²)，有γ²－1＝γ²v²/c²

4γv(tx'－t'x)＝2γ²v²[(x²－c²t²)＋(x'²－c²t'²）]/c²

2(tx'－t'x)＝γv[(x²－c²t²)＋(x'²－c²t'²）]/c²

由（17）可知，tx'－t'x=0，所以：

(x²－c²t²)＋(x'²－c²t'²）=0

x²＋x'²＝c²t²＋c²t'² ............................(25)

这就证明了时空等价性。

第九课：用洛伦兹变换证明光的传播定律：x= ±ct, x'=±ct'

由(14)和(25)，可得：

x= ±ct....................................(26)

x'=±ct'....................................(27)

通过以上九节课的学习，相信大家都掌握了洛伦兹变换的数学奥秘。当然，这还不是全部，如果您有兴趣，还可以自己找出更多的奥秘。只有玩转洛伦兹变换，才能成为狭义相对论高手。

“既然x=ct，就不能x=-ct了，否则就违背了逻辑推理的同一律。你只能让x1=ct1,x2=ct2。这样，你就不可能推出c+v=c-v。 ”

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根据你的逻辑： 

对于y=x,既然满足条件"在x=1处有y=1”了，就不能再满足条件“在x=-1处有y=-1”了。

荒唐！

对于洛伦兹变换方程组，既然满足条件“在x=ct处有x'=ct'”了，就不能再满足条件“在x=-ct处有x'=-ct'”了。

荒谬！

请问周爷爷，顶楼有同时使用条件“x=ct”和“x=-ct”吗？没有！！！

顶楼同时使用的条件是“在x=ct处有x'=ct'” 和 "在x=-ct处有x'=-ct'”

这就好比对于y=x，虽然你不能同时使用y=1和y=-1，但是你可以同时使用：

“在x=1处有y=1”和“在x=-1处有y=-1”。