关于傅科摆问题的研究报告

       （2012.2.29修订稿）

本文特为齐绩老师、朱顶余老师及其他诸位有兴趣的网友而写。由此可见逻辑推理的强大力量。

傅科摆重锤的运动轨迹实际上十分复杂。这不仅是因为它有科氏力的作用，空气的阻力，还因为它是一个在球面上的运动，且向心力与摆角、摆角的正弦或半径都不是正比关系。因此为了研究方便，我们必须要作许多简化。

一、简化

首先是将对重力的分解改为对斜拉力的分解：一个力是竖直向上，另一个力的方向是水平向心。这样我们就可以只考虑它的水平作用了。如再把重锤的球面运动轨迹投影到水平面上，那么我们就完全可以象研究行星的运动那样，在平面上研究它的运动规律了。

再就是排除地球自转的影响。因为由科氏力引起的转动非常稳定，且可以与其它因素引起的转动进行叠加。

再就是暂不考虑空气阻力的影响。因为空气阻力与运动速度有关，一旦考虑这个力的作用，那么将使问题变得异常复杂，无法进行分析。

二．大幅摆动的规律

在作了简化之后我们首先研究最简单的小幅摆动。此时向心力与半径成正比，自然重锤的运动轨迹是标准的椭圆，且椭圆的长轴没有转动。

因为重锤的运动始终遵循着两个规律。一个是动量矩守恒定律，再一个就是能量守恒定律。

由动量矩守恒定律决定了它的半径每个周期所扫过的面积都相等，这个面积大小不可能无缘无故的自行增加或减少。所以，如果最小半径增加，那么最大半径就必然减少。对于标准椭圆来说，就是每个周期所扫过的面积 S =πab 一定，如短半轴b增加，则长半轴a 必然减少。

但由于能量守恒定律又决定了重锤的总机械能是个定值，即

E = 0.5 mvv + 0.5 (mg/l) aa = 0.5 m (g/l)bb + 0.5 (mg/l) aa

= 0.5 m (g/l) (aa + bb) = E。  

所以若短半轴b增加，长半轴a 减少，则必然会引起 (aa + bb) 的变化，即机械能的减少，这也是不可能的。由此可知：椭圆的状态是稳定的。

但是当重锤做大幅摆动时，情况就不同了。此时水平面上的向心力大小是

F = N sinθ= mg cosθsinθ+ m (vv/l) sinθ≈ mg [r/l - 0.5 (r/l)^3] + m (vv/l) r/l

因为有了与r成高次方的负项，所以它必然要产生作用了。从此椭圆的形状就不再标准。其中最主要的变化就是：椭圆循环一周后不再闭合了，有了进动。

这个进动完全是由于随着半径的增加、向心力的增长减缓造成的。

利用数据计算的结果可以证明：长轴进动的角速度与短半轴b成正比，与最大摆角θ。的平方近似成正比。

三、角速度的叠加

在实验中，我们所观察到的进动角速度实际上是由大幅摆动引起的和科氏惯性力引起的两个角速度的叠加。

在大庆市，当逆时针椭圆的进动角速度小于每小时10.85°时，那么它将被摆的顺时针惯性角速度所抵消，从而表现为顺时针退行。所以要想能够看到它的逆时针进动，那么短半轴的大小必须大于0.0123米（齐老师在回帖中给出的事实也证明了"当逆时针短半轴的大小为0.015米以上，摆动平面就明显向逆时针转动。"）；短半轴越大，进动角速度就越快；当短半轴等于0.0123米时，进动角速度为0 ；当短半轴小于0.0123米时，椭圆将为"退行"，即摆动面按顺时针转动。

当短半轴为0.000073米时，重锤将做直线摆动，它的顺时针角速度略小于每小时10.85°。其实即使是直线摆动，重锤来回的路线也不重合，而是呈V形。它是顺时针和逆时针椭圆的分界线。当短半轴小于0.000073米时，从V字的尖端开始即建立顺时针椭圆了。毫无疑问，所有的顺时针椭圆都将永远做顺时针进动。

齐绩老师在大庆市所做的实验，傅科摆吊绳长度 l = 11.6米，重力加速度 g = 9.81米/秒平方。我们如取最大摆角为 θ。= 1.65/11.6 弧度，那么我们就可算出不同半轴的椭圆在20分钟的时间内所总共进动的角度。

当半轴为3厘米，沿逆时针方向时   Δα= 5.1816°

当半轴为3厘米，但沿顺时针方向时   Δα= 12.4465°

当半轴为5厘米，仍沿顺时针方向时   Δα= 18.3253°

齐老师的观测结果与此相符。他的短半轴都在4厘米以下，20分钟的顺时针进动角基本上都大于10°。

如果没有任何阻力，那么重锤将在进动中永远的摆动下去；且因为只有规则的保守力，故重锤在每个极点前后的路径也都将是对称的。

四、空气阻力的影响

因为空气的阻力不可避免，故它所产生的影响是我们不得不考虑的因素。空气阻力方向永远与重锤的运动方向相反，其大小与速度有关。但在这里我们只考虑它与速度成正比的情况。

空气的阻力总是在减小着物体的运动速度和路程。但它却不影响椭圆的进动。因为空气阻尼对长、短半轴两个方向上的摆动周期影响相同，没有产生新的差异。其它理论分析和积分计算结果也都证明了这一点。椭圆在一个周期内的动量矩减小率与机械能的减小率相同，也即两者的衰减速度相同。这个结果真是出人预料。空气阻力确缺实实的减小了椭圆运动的动量矩，但却不影响长轴的进动！由此看来，齐老师将来要作的真空罩内的实验结果也就可想而知了：进动将继续，只是摆幅不再衰减。

就像在地面上的斜上抛体运动一样，空气阻力即减小了物体的射高和速度，也减小了它的射程和落地速度。所以在空气阻力的影响下，若从椭圆的长轴极点开始，重锤所到达的每下一个极点，都达不到它所应有的半径和速度。从此每个极点前后的路径都变得不再对称了。空气阻力不仅一路减小着每个极点上的速度，同时也一路减小着每个极点的半径。即使按照阻尼振动的理论，长、短半轴两个方向上的振幅也是同步减小的。所以绝不可能出现短半轴增大的情况。从齐老师的实验中也可以看出短半轴增大的极限。虽然我们还不知道前边它为什么慢慢增大，但是如果继续观察下去，我断定将再也看不到它的增大了。

随着时间的推移，椭圆越衰减越小，这就意味着摆幅越来越小。椭圆越来越标准，进动也越来越小。但竟然始终不能成为正圆形。

至于椭圆长轴"在东西和在南北方向的进动情况存在差异"的观测事实，我首先认为：这一现象恐怕没有普遍性。因为能够改变两个相互垂直方向上的摆动周期的因素具有多个，我们只是暂时还不知究竟是哪一个。但如果这种现象具有普遍性，那么麻烦就大了。我们就必须面对现实，重新寻找影响因素了。由此看来，我们的研究工作还远未结束，今后仍需大家继续努力。