芝诺悖论之解

-----读量子力学史话之芝诺悖论

饭后闲话：连续性和悖论

古希腊有个学派叫做爱利亚派，其创建人名叫巴门尼德（Parmenides）。这位哲人对运动充满了好奇，但在他看来，运动是一种自相矛盾的行为，它不可能是真实的，而一定是一个假相。为什么呢？因为巴门尼德认为世界上只有一个唯一的"存在"，既然是唯一的存在，它就不可能有运动。因为除了"存在"就是"非存在"，"存在"怎么可能移动到"非存在"里面去呢？所以他认为"存在"是绝对静止的，而运动是荒谬的，我们所理解的运动只是假相而已。 

（存在指的是什么？例如一棵草，只在一定的时间内存在？存在指的是一定时间内吗？物体是唯一的，只能存在唯一的地方；物体存在唯一的地方是有时间的，在另一时间物体可能存在另一地方。)

巴门尼德有个学生，就是大名鼎鼎的芝诺（Zeno）。他为了为他的老师辩护，证明运动是不可能的，编了好几个著名的悖论来说明运动的荒谬性。我们在这里谈谈最有名的一个，也就是"阿喀琉斯追龟辩"，这里面便牵涉到时间和空间的连续性问题。

阿喀琉斯是史诗《伊利亚特》里的希腊大英雄。有一天他碰到一只乌龟，乌龟嘲笑他说："别人都说你厉害，但我看你如果跟我赛跑，还追不上我。"

阿喀琉斯大笑说："这怎么可能。我就算跑得再慢，速度也有你的10倍，哪会追不上你？"

乌龟说："好，那我们假设一下。你离我有100米，你的速度是我的10倍。现在你来追我了，但当你跑到我现在这个位置，也就是跑了100米的时候，我也已经又向前跑了10米。当你再追到这个位置的时候，我又向前跑了1米，你再追1米，我又跑了1/10米......总之，你只能无限地接近我，但你永远也不能追上我。"
（在这里有一个条件，我们分割空间的时候，也应分割时间。简单说就是，两者速度不同，意味着两者在空间上每一点停留的时间是不同的。当乌龟还在停留时，阿客琉斯已经向它迈进。当乌龟还没走出时，阿客琉斯他，到达它所在的位置。
当你再追到这个位置的时候，我又向前跑了1米。-------在这里用到一个假设，同时开始。就是说当阿客琉斯开始追的时候，乌龟同时开始向前跑。事实上，不是的。只有两者开始相距100米时，同时开始跑的，由于两者速度不同，在空间上每一点停留的时间不同，当阿客琉斯跑到100米时，在向前跑时，两者不是同时开始的。如果阿客琉斯以速度v经过空间的这一点，那么乌龟就是以这个速度的十分之一经过乌龟所在的空间点。如果不明白的话，我们可以把乌龟说的这种情况做出来。乌龟说的情况是有的，不过不是上面的从一开始就比下去。而是，分开比。好比分几场，第一场，两者相距100米。当阿客琉斯跑到一百米时，我们喊停。这样两者就相距十米了。第二场，两者从相距十米距离出发，（大家可以认为两者从到达的位置不动，就是我们喊停的时候都休息一下），当阿客琉斯跑完十米时，我们再喊停。两者就相距一米了。第三次开始，-------就这样虽然两者无限接近，但阿客琉斯永远追不上乌龟。乌龟说的其实是这种情形。这是两种情形，大家不要把他们搞混了。献给读过《巴伯时间观的读与想》的朋友们。后来我想一想，我说的例子有问题，第二段有问题。实际上我说的分开比的例子，也应该是可以追上乌龟的。阿客琉斯追龟，需要一个前提，就是两者同时开始，同时离开各自所在的位置，或者说空间的点。我们对此例追龟的分析主要用到，两者速度不同，意味着两者在空间上每一点停留的时间是不同的，此观点。阿客琉斯到达100米的地方时，乌龟同时到达10米远的地方。二者同时到达，不过不是同时离开的。（因为两者移动速度不同，所在空间每一点停留的时间不一样。虽然同时到达，但阿客琉斯会先一步离开他所在的空间的点。）通常我们所说的同时开始，实际上，物体由于移动速度的不同，在空间每一点停留的时间不同，所谓的同时开始也一定是（动快的物体）在空间每一点停留时间短的物体已经离开这一点，而速度小的物体却还停留在这一点。（对于两者是否处于同一点都成立）。从这一点说两者不是同时开始的。或者说同时离开的。从宏观上讲，二者又是同时开始以后，开始运动的。乌龟所说的，你离我有100米，你的速度是我的10倍。现在你来追我了，但当你跑到我现在这个位置，也就是跑了100米的时候，我也已经又向前跑了10米。当你再追到这个位置的时候，我又向前跑了1米，你再追1米，我又跑了1/10米......不错，但当两者间距离小到一定程度，就会发生，当乌龟还停留在空间某一点时，阿客琉斯追了上来。乌龟停留空间某一点的时间段内，阿客琉斯跨过了两者间距离。你只能无限地接近我，但你永远也不能追上我。-----这里要求宏观上同时开始，微观上同时离开。就是说，阿喀琉斯追龟时，宏观上我们喊开始（同时开始）的时候，微观上两者同时离开各自位置。或者说，乌龟不走，阿喀琉斯就不能走。事实上，只要两者速度不同，同时开始运动的物体也不会同时离开各自空间的点。速度不同，停留在空间某一点的时间是不同的，这里有一个时间差。关于空间一点，你可以认为是一米，或者十分之一米，或亿分之一米，........等等。 在这里所用的时间观是可以联系分割的，是与物体运动速度无关的。有兴趣的看看《巴伯时间观的读与想》。 ）
    阿喀琉斯怎么听怎么有道理，一时丈二和尚摸不着头脑。
这个故事便是有着世界性声名的"芝诺悖论"（之一），哲学家们曾经从各种角度多方面地阐述过这个命题。这个命题令人困扰的地方，就在于它采用了一种无限分割空间的办法，使得我们无法跳过这个无限去谈问题。虽然从数学上，我们可以知道无限次相加可以限制在有限的值里面，但是数学从本质上只能告诉我们怎么做，而不能告诉我们能不能做到。
-(---------我认为大家把简单的问题复杂话了。)
但是，自从量子革命以来，学者们越来越多地认识到，空间不一定能够这样无限分割下去。量子效应使得空间和时间的连续性丧失了，芝诺所连续无限次分割的假设并不能够成立。这样一来，芝诺悖论便不攻自破了。量子论告诉我们，"无限分割"的概念是一种数学上的理想，而不可能在现实中实现。一切都是不连续的，连续性的美好蓝图，其实不过是我们的一种想象。

(量子效应说的是，好比光量子，说的是在空间上，不是连续的，在时间上不是连续的。光在时间上，是不连续的。但不不是说时间是不连续的。光量子可以从时间上，空间上描述，但不是说时间空间本身不连续。能量的不连续是在时间空间的连续上分析的。献给读过《能量量子化是什么》的朋友们。)如果分不清请看新浪不同颜色字体分析与引用