山东章丘一职专 马国梁

我们前期发表的两个素数递推公式

P_{i +1} = P_i + ( P_i - P_{i -1} ) P_i / (P_i - 1 )             （1）

其中  P₁ = 2    P₂ = 3    i ≥2

P_i+1 = P_i×P_i ^(1/ P_i )                       （2）

其中  P₁ = 2      i ≥1

都是从素数构造的角度导出的，用来反映素数从2开始沿序号依次增长的规律。为了检验公式的精度，我们曾在电子计算机上用"电子表格"软件，将推算值计算到i = 10000号序数上。结果证明：从i = 143号开始，这两个公式的推算值的相对偏差即始终超不过±6% 且逐渐减小，这从一定程度上说明了公式的正确性。可现在我们的问题是：这种情形能不能延续到i → ∞ 的范围，它们的相对偏差能不能趋于0 ？这就需要我们从理论上进行分析判断，并用更大的数据进行计算检验。

由素数定理我们知道：当i → ∞ 时，两相邻素数的平均间隔将是 ΔP_i → lnP_i ，那么由我们的两个素数递推式所推算的增量是不是也有这样的趋势呢？回答是肯定的！对此我们具体叙述如下。

（1）式，当i很大时，因为

d(ΔP_i) /dP_i = (P_{i +1} - P_i ) / (P_i - P_{i -1} ) = [ P_i / (P_i - 1 )] - 1 = 1/ (P_i - 1 )

所以   ΔP_i =∫[1/ (P_i - 1 )] dP_i = ln (P_i - 1 ) ≈ lnP_i

（2）式，我们将P_i ^(1/ P_i ) 项展开，得

 P_i+1 = P_i (1+ ln P_i / P_i + [(ln P_i / P_i )^2] /2 + [(ln P_i / P_i )^3] /6 + ......

所以   ΔP_i = P_{i +1} - P_i

= ln P_i + [(ln P_i)^2] /2 P_i + [(ln P_i) ^3 ] / 6 P_i P_i + ...... ≈ lnP_i

这说明：当i → ∞ 时，三者的增量趋于相等，它们的上升曲线趋于平行。既然这样，那么素数中心线在上升过程中也就没了越界的可能，它将永远居于上、下界线之间。至此这根没有尽头的通天曲线终于被制住了。

注意：仅只是当i → ∞ 时，三条曲线趋于平行；所以当i是有限大时，它们仍然是不平行的。其中上线的增量仍然偏大，下线的增量仍然偏小，这就决定了它们与素数中心线的绝对偏差仍然在慢慢增大；但其相对偏差却是越来越小，最终趋向于0 。因为素数中心线毕竟是加速上升，它远远大于慢慢增加的绝对偏差的幅度，故至于此。

我们在电子计算机上用数据进行计算的结果也证明了这一切。为此曾特意编写了一段程序，并将序号i扩大到100万和1000万上。具体如下表所列.

序数i = 1000万，这是一个不小的数字。要知道在（1）式中，我们最初的瞄准标尺只有3-2 = 1个单位。用1毫米的短距离瞄准1万千米以外的目标，且相对偏差不超过2 %，这该有多么艰难！所以若将之延伸到无限远处，是不应该再有什么意外的。

至于素数中心线的递推公式，我们实在不知它究竟存不存在，如果存在则又将是怎样的。在经过反复的试探、比较之后，我们终于得出了下面这个近似公式

P_i+1 = P_i + lnP_i / [1- 0.62 / sqrt(P_i )]              （3）

   其中  P₁ = 2      i ≥1

但这个公式我们不知道它到底能走多远，我们只知在起初很大的一段范围内还是足够理想的。从i = 103开始，它与素数的相对偏差绝对值就小于3.1% 了，之后也是越来越小，趋向于0 。详见下表所列.

可以看出，起码在i = 250万之内，其偏差比（2）式要小得多；至于以后怎样我们还需再作进一步的验证。

素数在上升过程中，两相邻素数的平均间隔是lnP_i ，一般是在2 ~ 2 lnP_i之间游动，很少超过2 lnP_i 。就是说素数曲线可以认为是"连续"的。但却禁不住它在中心线的两侧做无规则的摆动，且摆幅越来越大。根据前人的严格证明，就连数值最小的递推式

P_i+1 = P_i + lnP_i                          （4）

   其中  P₁ = 2      i ≥1

当i达到极大时，它的曲线都会让素数曲线无数次的来回穿越，到达它的下面，那么其它各条比较高的曲线也就更难免了。甚至最高的递推式（1）的曲线恐怕也要被它无数次的穿越，到达它的上面。

关于素数曲线摆动幅度的增加规律我们至今还无法弄清，所以我们的困惑将会继续下去。

总之，这次对素数递推式的验证意义重大，它充分肯定了我们前边所取得的成就。当然一定还会有更精确、更简单的素数递推式存在，我们期盼它能够早日横空问世。