我所发现的更精确的素数递推公式
山东章丘一职专 马国梁
先期发表的累加型素数递推公式
Pi +1 = Pi + ( Pi - Pi -1 ) Pi / (Pi - 1 )
虽然能够反映素数沿序号行走的轨迹，但它的相对偏差会越往后越大，竟能超过3%而难以看到下降的希望。
笔者近来通过进一步的研究发现，如果运用算数基本定理，将素数递推公式改写成乘积的形式，那么计算结果将比累加形式的更接近实际。也许这才是我们真正理想的递推公式。
我们已经知道：从Pi 到Pi+1 间的所有整数都是由2 ~ Pi 间的素数构成的，因此若从2开始，连续乘上各素数参与构数的平均值，那么即可得Pi+1 的大小。至于各素数参与构数的平均值可将它的倍数在数轴上出现的频率作为指数来计算。即
Pi+1 = 2×2^(1/2)×3^(1/3) ×5^(1/5) ......
= Pi×Pi ^(1/ Pi )
这样，若从2开始带着小数连续递推，那么其偏差将比用累加公式计算的还要小。具体如下表所列。从中可以明显的看出偏差减小的趋势，这证明了公式的正确性。
序号 | 原素数 | 累加递推式 | 偏差 | 累积递推式 | 偏差 |
1 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 |
2 | 3 | 3 | 0 | 2.828427125 | -0.057190958 |
3 | 5 | 4.5 | -0.1 | 4.084983032 | -0.183003394 |
4 | 7 | 6.428571429 | -0.081632653 | 5.765129357 | -0.176410092 |
5 | 11 | 8.712406015 | -0.20796309 | 7.812255587 | -0.289794947 |
6 | 13 | 11.29236539 | -0.131356509 | 10.16378345 | -0.218170504 |
7 | 17 | 14.12299205 | -0.169235761 | 12.7684486 | -0.248914788 |
8 | 19 | 17.16931851 | -0.096351657 | 15.58722177 | -0.179619907 |
9 | 23 | 20.40404663 | -0.112867538 | 18.5904939 | -0.191717656 |
10 | 29 | 23.80547854 | -0.17912143 | 21.75540991 | -0.249813452 |
20 | 71 | 64.240021 | -0.095210972 | 59.54230799 | -0.161375944 |
30 | 113 | 112.077927 | -0.008159938 | 104.3803693 | -0.076279917 |
40 | 173 | 164.5349542 | -0.0489309 | 153.6438279 | -0.111885388 |
50 | 229 | 220.3409878 | -0.03781228 | 206.1376972 | -0.099835383 |
60 | 281 | 278.7690704 | -0.007939251 | 261.1742757 | -0.070554179 |
70 | 349 | 339.3489041 | -0.02765357 | 318.3061383 | -0.087948028 |
80 | 409 | 401.7516633 | -0.017722095 | 377.2189016 | -0.077704397 |
90 | 463 | 465.734705 | 0.00590649 | 437.6796032 | -0.054687682 |
100 | 541 | 531.1117322 | -0.018277759 | 499.5087395 | -0.076693642 |
200 | 1223 | 1238.796994 | 0.012916594 | 1170.992225 | -0.042524755 |
300 | 1987 | 2009.656895 | 0.011402564 | 1905.127775 | -0.041203938 |
400 | 2741 | 2820.817926 | 0.029120002 | 2679.401741 | -0.022472915 |
500 | 3571 | 3661.642368 | 0.025382909 | 3483.280265 | -0.024564473 |
600 | 4409 | 4525.941465 | 0.026523353 | 4310.615616 | -0.022314444 |
700 | 5279 | 5409.660731 | 0.024751038 | 5157.37216 | -0.023039939 |
800 | 6133 | 6309.93702 | 0.028849995 | 6020.696136 | -0.018311408 |
900 | 6997 | 7224.640509 | 0.032534016 | 6898.462549 | -0.014082814 |
1000 | 7919 | 8152.124986 | 0.02943869 | 7789.027648 | -0.016412723 |
2000 | 17389 | 17926.34815 | 0.030901613 | 17195.07687 | -0.011152058 |
3000 | 27449 | 28292.32694 | 0.030723412 | 27194.4239 | -0.009274513 |
4000 | 37813 | 39039.65787 | 0.03244011 | 37576.25035 | -0.006261065 |
5000 | 48611 | 50069.26434 | 0.029998649 | 48241.21561 | -0.00760701 |
10000 | 104729 | 107959.6929 | 0.030848121 | 104316.8811 | -0.003935098 |
利用此公式还能使我们轻易推出素数定理的精确式，其过程如下所述。
由 Pi+1 = Pi×Pi ^(1/ Pi ) = Pi e^(ln Pi / Pi )
= Pi + ln Pi + [(ln Pi)^2] /2 Pi + [(ln Pi) ^3 ] / 6 Pi Pi + ......
得素数宽度 ΔPi = Pi+1 - Pi = Pi [e^(ln Pi / Pi ) -1 ]
= ln Pi + [(ln Pi)^2] /2 Pi + [(ln Pi) ^3 ] / 6 Pi Pi + ......
从而得素数定理的精确式为
η= 1/ΔPi = 1/ [ln Pi + [(ln Pi)^2] /2 Pi + [(ln Pi) ^3 ] / 6 Pi Pi + ...... ]
此乃各素数附近的密度。当Pi很大时
η≈1/ln Pi
这就是传统的素数定理。
在历史上，素数定理从发现到证明经历了上百年的时间，曾用过极深的数学知识。可是现在我们的推导却如此简易，以致我们无法理解先人们为了得到它曾经付出的巨大艰辛。事实已经证明：通过其他途径推证素数定理的过程都非常繁难；并且那时候他们根本没有电子计算机，以便用来进行计算、检验，故在这个研究方向上受到了技术条件的限制。现在的突破，是科学发展的必然。新的素数递推公式和素数定理是如此简单和精确，它对今后研究素数的分布规律定能起到积极的推动作用。