|
应用概率研究"角谷猜想"的最新进展 山东章丘一职专 马国梁
对于大量的无规则的"变数"问题，采用概率的方法进行研究分析，无疑是找出其统计规律的最有效的手段。"角谷猜想"问题自从二十世纪五十年代被提出以来，虽然已在1992年被李文斯(G.T.Leavens)和孚门南(M.Vermeulen)用计算机验证到了56万亿无一反例，但这仍远远不能证明它的成立。而要推翻它则至少必须找出一个反例或在逻辑上提供它不成立的理由，这又需要我们寻找它所遵循的最基本的规律和恪守底线。而这些如果根本就不存在，那我们就永远不能证明它成立或不成立。所以对于这样一个困惑人们多年的问题，采用概率的方法进行研究就显得很有必要，也许会收到奇妙的效果。 最近笔者在这一研究方向上就取得了意想不到的进展，且经过检验证明：我的结论完全正确。当然这样的结果虽然谈不上对角谷猜想的完全证明，难免有漏网之鱼，但它可以预见绝大多数奇数的命运。因为它在变换过程中始终受到概率的约束。这就像会翻筋斗云的孙悟空，他就是跑的再远但最终也仍然难逃如来佛的手掌。为便于同广大网友交流，下面我就把自己的研究结果介绍如下。 因为一个数在其变换过程的每个循环中，奇变换只有一次，而偶变换则可能有许多次，所以为简化问题，我们规定：所有的变换过程皆从奇数开始，先乘3加1，再用2一次次的去除，直到不能整除将之变成奇数为止；然后再进入下一个循环。 任一奇数在乘3加1后都必为偶数。而在所有的偶数中，能被2一次除成奇数的占1/2 ，能被4一次除成奇数的占1/4 ，能被8一次除成奇数的占1/8 ，...... 。这样，奇数在乘3加1后，它的平均除数即为 q = 2 ^（1/2）× 4 ^（1/4）× 8 ^（1/8）× ...... = 2 ^（1/2 + 2/4 + 3/8 + ...... ）= 4 即在各个循环中它们的平均变比是3/4 . 在多个循环中，除数为2的次数占去一半，即它们的变比是3/2的占了一半，那么另一半次数的平均变比将为 由 sqrt(3/2 × p ) = 3/4 得 p = 3/8 下边在讨论奇数的整个变换过程时可以将之看成是只有这两种变换的组合。 虽然这两种变换的机会是均等的，但是乘除因子却不相等。奇数乘3/2相当于乘1.5，而乘3/8则相当于除2.666......，因为下降的程度大，所以变换的总体趋势是下降的。 一、我们先讨论奇数变换的一般情况 ax + b ，式中的系数a、b皆为奇数。 奇数x 在经过m次循环后，它的大小将为 x(m) = x (a/q)^m + b[1 - (a/q)^m] /(q - a) 由此可见，要想使x逐次递缩到0，各个循环的变比必须 a/q = a/4 <1 ，即 a < 4 所以在角谷猜想中，a =3 是能够满足这一要求的；但a = 5 就不行了，那样会使x无限增大，总体呈上升趋势，只有极少的奇数才可能靠侥幸降落下来。 这样当m足够大时，将有(a/q)^m → 0 x(m) → b/(q-a) = b 在角谷猜想中，因为b =1 ，所以它的最终结果将趋于1 . 二、我们再推算一下从x变到1所需的循环次数--总航程m . 由x(m) = x (a/q)^m = 1 可得 m = ln(x)/ln(q/a) = ln(x)/ln(4/3) = 3.476 ln(x) 可见x越大，m就越多。 但只要x是有限大，总变比a/q<1，那么m也就总是有限的，x终归要走向穷途末路！ 所以要想使x变换无穷，前途无量，那就必须使总平均变比a/q>1。只有各循环所产生的奇数无限增大，它所拥有的奇数数量才能无限增多，尤其是在没有循环、各个奇数不得重复的情况下。这些奇数必须都是不可回归的，如果沿途遇上一个可回归的奇数，那么它就随之回归了。 三、最可几高度的产生 奇数x在整个变换过程中，循环次数是m .总平均变比是3/4 .其中变比是3/2的占到一半的次数，而另一半次数的平均变比则为3/8 .两者的构成虽然一定，但其分布却是随机的。故各种结果将遵从二项分布的规律。 当变比是3/2的循环全部集中到开始的一半航程中时，虽然x可产生超过自己的最大值，但其机会却很少；所以只有当变比3/2和3/8适当组合时，x所产生的超过自己的高值和机会才能乘积最大。 运用二项之和的m次方展开式通项 [m!/(n!(m-n)!)][(3/2)^(m-n)][(3/8)^n] 我们可以推出：当m很大且 n = m/5时，x所产生的高值和机率的乘积为最大。 此时的x大小为航行高度 H = x(n) = x (3/2)^(m/5) = x e ^ [(1/5) ln(3/2) ln(x) /ln(4/3)］ = x ^ (1+ [(1/5) ln(3/2)/(ln(4/3)] ) = x ^ 1.281884 这是奇数在变换过程中最有可能出现的可超过自己的最大高度。 四、保证x不小于自己的循环次数--保持高度航程 当变比3/2所占的次数减少而同时3/8所占的次数增多到一定程度时，x将超越最大值回归到初始大小。到此所需的循环次数叫做保持高度航程，其大小由 [(3/2)^(m-n)][(3/8)^n] = 1 可得 n = m ln(3/2)/ln(4) = [ ln(x)/ln(4/3)][ ln(3/2)/ln(4)] = m/3.419 = 0.2422 ln(x) 可见，也是x越大，n则越多。
总之，"角谷猜想"只要所给出的奇数大小是有限的，那么其变换的总次数就是有限的；其总体趋势就是下降的。因为总平均变比是3/4，变比是3/2的次数只占一半，所以上升只是暂时的；由于另一半变比3/8的作用，故它不可能长期居高不下。在经过一定次数的变换之后，其大小终归是要下降的。照此看来，角谷猜想要想不成立基本上没有可能。既然奇数的总航程有限，那么它的最大高度也就高不到哪里去。沿途数量有限的奇数，还能走多远？它们就像一只只飞出去的小鸟，终究都要落到地上来的。 角谷猜想由于其特定的变换方式还决定了每个奇数都有一条不规则的唯一的回归路线，但各个奇数的回归路线却是可以交错、汇合的，就是没有分叉。这就象从同一直线、不同地点出发的航船，在整个航行过程中，它们一次次地交会、同行；不管航程有多远，也不管有多少反复曲折，最终都将驶向另一侧那个为"1"的岸边。诸位想想看，在同一片水域，竟有无数的船只在一起竞相争流，其势浩浩荡荡，这将是一个多么壮观的场面呀！ 由于大势所趋，所以在这样的裹挟之下，还有那条船可能中途迷路而不能成功到达"1"的彼岸呢？ 当然角谷猜想的情景更象是无数道从不同高度飞流直下的瀑布，最终都将到达那个为"1"的水潭。其过程肯定是：八仙过海、各显其能！ 不可回归的奇数假若有的话，那么它们前进路线的总趋势必须无限上扬才行；它们只能相互汇入，而不能汇入任何一条可以回归的路线。它们与所有可回归的路线都必须是能够交错开的。例如当奇数用5x + 1 进行变换时就属于这种情况。 事已至此，那么对角谷猜想今后我们还有必要再证吗？ 2010.5.24
此项成果，是我老马有生以来所拥有的为数不多但最为得意的精品之一。
|
