| 杠杆问题提出以来，各路英雄各显神通，给出了各种各样的解释和解答。但是，过于简单的逻辑论证（如“在一个参照系中没有发生的现象，在另一参照系中也比不发生”）并不能使反相者满意，因为他们认为正是洛仑兹变换造成了杠杆问题的“困境”，如果在解释中不涉及洛仑兹变换，他们便不认同那种解释。而彻底的的动力学推导，又受限于杠杆系统的力学过程的复杂性而难于进行（已经有人提出用相对论性的运动方程加上带阻尼的的杠杆本构方程来求解，但是毕竟太复杂了）。而且，这样的证明即使给出了，也必然会淹没在复杂的数学推导之中，恐怕没有几个人能看得下去。第三种思路，则是利用“信号传递”的概念来解释问题。但是涉及到“信号”的选择，以及杠杆平衡条件的“定义”，总显得有点牵强。 那么，有没有更好，更彻底的解决方案呢？应该说是有的。其实从最简单的逻辑论证中我们就能意识到，这杠杆问题的解决应该是与具体的（也复杂的）力学过程是无关的，必定有一个更为普遍的规律隐藏在复杂的动力学过程背后。如果把这个规律从动力学方程中提取出来，杠杆问题就完全解决了。 下面我们就从这条思路解决杠杆问题。为了让证明的思路更为清晰，中间有些具体的数学推导在此略去，有兴趣者可以自行推导。 1. 任意时刻杠杆的状态，可由杠杆上个点的纵坐标的值来描述。写成数学式子，就是一个函数 y = f(x, t)。 2. 与杠杆的动力学有关的状态变量有很多，列举一些如下: t - 时间 x - 杠杆的水平位置 y - 杠杆上某点的纵向位移 dy/dt - 杠杆上某点的纵向速度（所有导数应为偏导数） dy/dx - 杠杆上某点的斜率 d2y/dt2 - 杠杆上某点的纵向加速度 d2y/dtdx - 杠杆纵向速度的梯度，与杠杆内的粘滞力有关 d2y/dx2 - 杠杆形状的二阶导数，与杠杆内的弹性应力有关 …… 这些量的洛仑兹变换分别为（推导略） t' = γ(t - vx/cc) x' = γ(x - vt) y' = y dy'/dt' = dy/dt / γ d2y'/dt'2 = d2y/dt2 / (γγ) …… 3. 不管杠杆的力学性质如何复杂，在静系中杠杆的运动必定满足如下形式的二阶偏微分方程： g(d2y/dt2, dy/dt, y, x, t, dy/dx, d2y/dtdx, d2y/dx2, ……) = 0 (1) 其中函数g的形式可以任意复杂，但是我们并不关心这个具体形式。 把上面的各个量的洛仑兹变换代入(1)，便得到杠杆在动系中的动力学方程： g(γγd2y'/dt'2, γdy'/dt', y', γ(x'+vt'), γ(t'+vx'/cc), ……) = 0 (2) 4. 设静系中的动力学方程的解为 y = f(x, t) (3)， 那么它的洛仑兹变换 y' = f(γ(x'+vt'), γ(t'+vx'/cc)) (4) 必定是动系中杠杆的动力学方程(2)的解（证明略）。 5. 如果杠杆在静系中始终保持平衡，那么函数y = f(x, t)必须满足两个条件： (a) 因为杠杆的中点没有纵向运动，故 f(0, t) ≡ 0； (b) 杠杆的中点始终保持水平，故在 x = 0处，有dy/dx = 0； 6. 现在我们来证明，在动系中的解(4)也满足上述两个条件。 (a) 因为在动系中，杠杆的中点坐标满足x'= -vt'，故 y' = f(γ(x'+vt'), γ(t'+vx'/cc)) = f(0, t'/γ) = 0 (b) 再看动系中杠杆中点的斜率 dy'/dx' = df/dx * dx/dx' + df/dt * dt/dx' = dy/dx * γ + dy/dt * (γv/cc) = 0 + 0 = 0 所以，在动系中看来，杠杆的中点既没有垂直方向的运动，角度也没有偏离水平位置。也就是说，它是平衡的。 7. 至此，我们已经从普遍化的运动方程上证明了杠杆在动系中也保持平衡。 |