Maxwell方程和流体力学方程相似

电动力学基本方程组是：

• ▽(εE) = ρ <1>

? (εE)/? t = ▽╳ H + g E　 　　 <2>

? (m H)/? t = -▽╳ E               <3>

• ▽(m H) = 0 <4>

其中ρ是电荷密度,E是电场强度，H 是磁场强度，m 是磁导率， ε是电介常数，g 是电导率。下面让我们在连续介质力学领域里寻找和它相类似的方程.

        由于电动力学方程组创始人Maxwell在建立他之初,就利用了流体力学的亥姆霍兹定律和法拉第的电力线理论,所以上面的方程1,2,4自然在流体力学方程组中有它的对应表达形式:

        对Maxwell方程组的1）式来说,在连续介质力学的类似表达,可以用涡的散度为零来对应:

• ▽W = 0 　 <5>

其中W 是介质流场速度的旋度: W =▽╳V

对Maxwell方程组的4式可以类比重力场的守恒法则得到

• ▽F = α ρ <6>

其中F是加速度，α是和万有引力有关的系数，ρ是质量密度。

对Maxwell方程组的2式对应表达,，需要一个涡的变化也能产生力的旋度的表达形式，亥姆霍兹定律正是这样一个关系，对黏性流体可以通过考虑柯罗柯-兰姆形式的动量方程把亥姆霍兹定律写成更一般的形式，一般的牛顿流体动量方程为:

• ?V/? t +(V▽)V =F-1/ρ▽P
• + 1/ρ▽(λ▽V)+ 1/ρ(▽(2μ[ε])) <7>

其中V是速度矢量, F是引力,P是压力, ρ是密度(在电场里面已经用来表示电荷密度), μ和λ是粘性系数,和体粘性系数,ε表示应变率张量。

              | ε11 ε12 ε13 |

       [ε] = | ε21 ε22 ε23 |                <8>

              | ε31 ε32 ε33 |

• 利用V▽V=▽(VV/2)+ W ╳V把上方程可以改写成柯罗柯兰姆形式(Crocco-Lamb)如下:
• ?V/? t +▽(VV/2)+ W ╳V =F-1/ρ▽P
• + 1/ρ▽(λ▽V)+ 1/ρ(▽(2μ[ε])) <9>

对上式两边取旋度得：

           ? W /? t + ▽╳(W ╳V) = ▽╳ F-▽╳(1/ρ▽P)

• + ▽╳{1/ρ▽(λ▽V)}+ ▽╳{ 1/ρ▽{2μ[ε]}}

亦即：

? W /? t = ▽╳ F +▽╳{-(W╳V)-1/ρ▽P

• +1/ρ▽(λ▽V)+1/ρ▽{2m [ε]} }

由于方程最右面的第一层括号里面实际是压力,离心力和粘性力之和，把它合起来称为F2。于是有：

            ? W /? t = ▽╳{F + F2}                                 <10>

• 其中 F2=-(W ╳V)-1/ρ▽P+1/ρ▽(λ▽V)+1/ρ▽{2m [ε]}
• 对不可压流体,中间的这一项1/ρ▽(λ▽V)为零.

至此电动力学一共四个方程,我们已经找到了其中的三个在粘性流体力学中的对应形式.

寻找最后一个(方程3)的对应形式