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请各位帮验证一下，暂时对于声波而言，
平面内任意方向的多普勒通解是：
ΔT= L/c= 【|r2| - |r1+ vΔt'|】/c
=【|r1+ uΔt'| - |r1+ vΔt'|】/c
图解请看：
http://cn.geocities.com/yanghx2/
其中r1是直角坐标系内任意点的位置矢量，
声源在r1处发出一个“波峰”（或脉冲），
然后产生位移uΔt'，
在r2处发出第二个“波峰”（或脉冲），
这样在r1、r2、uΔt'三个矢量组成的三角形中，
显然：r2= r1+ uΔt'，
由于两个“波峰”（或脉冲）都是以同样的声速v传向原点O（观察点）的，
所以观察者最后测得的“波峰间距”的理论值应该是：
L=【|r2| - |r1+ vΔt'|】=【|r1+ uΔt'| - |r1+ vΔt'|】，
L的实测值是：L=（T2-T1）v =ΔT*v
如果：L的理论值=L的观测值，
则得：
ΔT= L/v= 【|r2| - |r1+ vΔt'|】/v
=【|r1+ uΔt'| - |r1+ vΔt'|】/v
当 r1垂直于u时：
ΔT=【|r1+ uΔt'| - |r1+ vΔt'|】/v
=【sqr[|r1|^2 + |uΔt'|^2] - (|r1|+ vΔt')】/v
（r1与v总是“共线”的，v与r1方向相反时，v取负号）
当 r1与u共线时：
ΔT=【|r1+ uΔt'| - |r1+ vΔt'|】/v
=【（r1+ uΔt'） - (r1- vΔt')】/v
=（v+u)Δt'/v （当u与r1方向相同时）
或当u与r1方向相反时：
ΔT=（v-u)Δt'/v
这就是一般“共线”情况下的多普勒公式了。
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声波“多普勒通解”的坐标表达式为：
假设：r(x,y)，u(Ux,Uy)，
则：
ΔT=【|r+ uΔt'| - |r+ vΔt'|】/v
= 【sqr[（x+ UxΔt')^2 + (y+ UyΔt')^2]-[sqr(x^2+y^2)+vΔt']】/v
（注意：r与v总是“共线”的，当v与r反向时，v取负号）
当 r垂直于u时：比如：r(0,y)，u(Ux,0)，
ΔT=【sqr[（UxΔt')^2 + (y)^2] - [y + vΔt']】/v
（注意：此时v与y轴“共线”，当v与y反向时，v取负号）
当 r与u共线时：比如声源沿y轴运动：r(0,y)，u(0,Uy)，
ΔT=【（y+UyΔt'）- [y+vΔt']】/v = -(v-u)Δt'/v
(注意：符号由v、u与y是否同向决定，同向的速度取正值，反之则反）
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总结：在xoy平面内，当观察者在原点O，波源运动到平面内任意点r(x,y)处时，
由于声波源运动产生的“多普勒频移”由下式确定：
ΔT=【|r+ uΔt'| - |r+ vΔt'|】/v
坐标表达式为：
ΔT=【sqr[（x+ UxΔt')^2 + (y+ UyΔt')^2]-[sqr(x^2+y^2)+vΔt']】/v
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一般来说，矢量运算是没有“结合律”的，但是从做图可知，
当r》 uΔt'时，或v 》u时，可以近似认为：
ΔT=|（u- v）|Δt'/v，
如果光波的“多普勒频移”也遵循这一规律，由于c 》u，
所以对于雷达对飞机的“电磁脉冲测速”，
公式ΔT=|（u- v）|Δt'/v 应该有很好的精确度了，
而精确值应该是：
ΔT=【|r+ uΔt'| - |r+ vΔt'|】/v
对于3维空间的情况是：
ΔT=【sqr[（x+UxΔt')^2 + (y+UyΔt')^2 + (z+UzΔt')^2]
- [sqr(x^2+y^2+z^2)+vΔt']】/v,
按照相对论应该是把u分解成“径向速度”和“切向速度”，
然后分别用公式：
ΔT=Δt'（1-u/c)/sqr(1-u^2/c^2)
ΔT=Δt'/sqr(1-u^2/c^2)
算出：总频移 = “径向频移”+“切向频移”
即：
ΔT=【Δt'(1-u*cosA/c)/sqr(1-u*cosA^2/c^2)】+【Δt'/sqr(1-u*sinA^2/c^2)】
用长期观测的试验数据就可以做出判断了，
因为第二项“横向时慢”总是得到“红移”---波长增加，
所以估计会与“通解”相差的不少？
可惜我没有雷达，也没有数据，
不过现在各种超声波和电磁脉冲测速仪可是不少了，
恐怕要找一个来研究一下？
看图点击这里> |