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上次说了必要条件和充分条件，今天我们来看看——必要、充分条件是什么？等价的定义
说明以下摘自小室直树的著作《给讨厌数学的人》。 一个条件既是必要条件也是充分条件，就称为“充分必要条件”或“必要且充分条件”。 例如，等腰三角形可以说是等底角三角形的充分必要条件。 直角是四边形作为长方形的充分必要条件。 如果p就是q，且q就是p时，p是q的充分必要条件，而q也是p的充分必要条件。 p和q是充分必要条件时，p和q在逻辑上是相等的，这时可以说p和q“等价”。 在逻辑上相等究竟是什么意思？ 这表示虽然说法不一样，在逻辑上却是同一件事，可以相互导出彼此。 因此，“等腰三角形的两底角相等”，亦即“等腰三角形就是等底角三角形”这个命题成立。——（1） “等底角三角形就是等腰三角形”的命题也成立。——（2） （1）和（2）两个命题成立，所以“等底角三角形是等腰三角形的充分必要条件”。换言之，“等腰三角形”这个命题和“等底角三角形”等价。 如上所述，“等腰三角形”这个命题和“等底角三角形”的命题是不同的叙述，而“边的长度”和“角的大小”是不同的现象。虽然叙述和现象都不同，“等腰三角形”的逻辑和“等底角三角形”却是相同的。 那么等边四边形和等角四边形呢？ 这两者是不可能等价的，因为等边四边形除了正方形之外还有非正方形的菱形，而等角四边形有正方形和非正方形的长方形。 “等价”这个数学用语也许并不好懂，但是其实没什么，等价就是两者的逻辑完全相同的意思。数学就是这样，只要有心去了解，就不会觉得困难。 在上一节和这一节说明了必要条件、充分条件，以及充分必要条件，看起来虽然简单明了，但是要真正理解并灵活地运用是很困难的。而且，要推广这些想法，让更多人习惯使用也不容易。 必要条件、充分条件，充分必要条件虽然是逻辑学的主轴，却要等到近代资本主义出现，数学开始突飞猛进时，以这些内容为主轴的形式逻辑学才能充分地发展。 为什么呢？因为逻辑学太过于严密，常会令人敬而远之。 |
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