人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”。常言道，知音难觅，寻找亲和数更使数学家绞尽了脑汁。亲和数是数论王国中的一朵小花，它有漫长的发现历史和美丽动人的传说。


第一对亲和数


　　故事还需从公元前5世纪的毕达哥拉斯学派说起。毕氏学派视数为世界万物的本源，信奉着“万物皆数”的名言。

　　有一次，毕氏学派的成员在一起讨论“万物皆数”的一个问题：“数对于万物有什么作用？”讨论十分热烈。一位门徒问道：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯回答说：“朋友是你的灵魂的倩影，要像220和284一样亲密”。后来毕达哥拉斯解释说，人与人之间讲友谊，数与数之间也有“相亲相爱”。从此，人们便把220与284叫做“亲和数”或“友数”、“相亲数”。

　　为什么把这两个数称为“亲和数”呢？原来，这两个自然数之间有一种特殊的关系。220的所有真因数1、2、4、5、10、11、 20、 22、 44、 55、 110，其和是 284；而 284的所有真因数1、2、4、71、142，其和又恰是220。像这样的自然数称之为一对“亲和数”。
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　　220的除了本身之外全部约数的和是：

　　1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；

　　284的除了本身之外全部约数的和是：

　　1+2+4+71+142＝220。

　　历史上有文字记载的第一对亲和数就是220和284。它最早出现在公元320年左右一位有影响的新柏拉图哲学家亚姻利康的书中，他是在对希腊数学家、毕氏学派成员尼可马修斯的《算术入门》一书的注释中首次记载的。这是远古时期数学家发现惟一的一对亲和数。亲和数概念的发现，归功于毕氏学派。



　　古欧洲人推崇亲和数，赋予其种种神秘色彩，《圣经•创世纪》第32章14节中写道：“人类的始祖雅各曾送给他哥哥伊绍200只母山羊，20只公山羊和200只母绵羊，20只公绵羊，以表达他内心的深情。”山、绵羊数之和各是220，其中隐含着它的亲和数284，以体现送礼和受礼人之间的亲密。


漫长的寻觅


　　毕达哥拉斯发现第一对亲和数以后的1500年间，凡涉入探寻亲和数的数学家，都深感难渡迷津，茫茫的数海似大海捞针。经过一代又一代人的穷思皓首，却没有收获。第二对亲和数你在哪里？

　　公元9世纪，酷爱数学的伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特•依本库拉凝神苦索，提出了一个求亲和数的公式：

　　设p＝3•2n-1，q=3•2n-1-1,r=9•22n-1-1是三个素数，则2npq和2nr是一对亲和数（n为大于1的整数）。

　　这位生活在《天方夜谭》故乡的科学家所发现的公式因繁杂，难以实际操作，尤其是n很大时，无法运算，所以它并没有使人们走出困境。数学家花几百年时间仍没有找到第二对亲和数。

　　到16世纪，甚至有人认为自然数王国里，就仅有这一对独苗苗了。一些无聊之士，借机给它抹上一层迷信色彩或者增添神秘感，大谈其魅力之深，作用之大，编出了许许多多神话故事，如说用亲和数可以预测婚姻大事；佩带写上这两个数护身符的人，必将保持良好的友谊，还宣传这对亲和数在魔术、法术、占星学和占卦上都起着重要作用等等。

　　历史的时针转到17世纪，距第一对亲和数诞生2500多年之后，法国数学家重新点燃寻找亲和数的火矩，他们经过穷思猛算，终于在数海中捞出两枚“金针”。1636年，法国“业余数学家之王”费尔马向世人宣布，他找到了第二对亲和数17296和18416。两年后，法国‘解析几何之父’笛卡尔于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437056和9363584。

　　费尔马和笛卡尔，以极顽强的精神，坚持不懈，进行了大量冗长乏味的计算，终于跨出了极为重要的一大步，在两年的时间内，他俩打破了2000多年的沉寂。给平静的世界数坛，投下了两颗不大不小的“石头”，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。

　　历史的鸿篇，艰难地翻动了一页又一页，在17世纪以后的岁月，许多数学家绞尽脑汁，投身到寻找新的亲和数的行列。他们殚思极虑，企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆，他们磨秃了一枝又一枝的笔，结果是“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见。”这时，数学家才省悟到他们已经陷入了数学迷宫，恐怕很难再出现法国人的辉煌了。


一鸣惊人的欧拉


　　100多年之后到了1747年，年仅39岁的瑞士著名应用数学大师、博学多产的欧拉突然向全世界宣布：他一口气找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程。

　　欧拉的方法与众不同，他将亲和数划分为五种类型加以讨论。例如第一类是寻找形如aqp，ar的亲和数对，这里p、q、r是不能整除a的互异素数，a=2n，他用试的方法讨论了22×5×11=220，22×7=284，得到了第一对亲和数，依此又分别讨论其他情况，在第一类型里经过计算一共得到了11对亲和数。

　　欧拉超人的数学思维，不仅发现几十对亲和数，在后来的1766年在他双目失明以后，还心算找到了困扰数坛百年很难觅的一个梅森素数。人们对欧拉超人的计算技巧刮目相看。法国物理学家阿拉哥赞誉地说：“欧拉计算好像一点也不费力，正如人呼吸空气，或者老鹰乘风飞翔一样。”

　　欧拉发现的亲和数，解开了止步2500多年的难题，使数学家惊喜叫绝，无人与他争雄。可是，由于方法与工具受限，人们却难以一个一个地验算核对，只好将信将疑。

　　时间又过了120年，到1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁的中学生白格黑尼，他初生牛犊不怕虎，运用欧拉的方法也不停地算呀算呀，竟然发现了数学大师欧拉的疏漏，把大师眼皮下溜走的一对较小的亲和数1184和1210捉住了。这戏剧性的发现使数学家如痴如醉，致使有人叹道：神奇绝妙的亲和数呀，你这个精灵，怎么同数学大师欧拉开玩笑？

　　时光又过了半个多世纪，数学家在前人的基础上更新方法，陆陆续续又找到了许多对新的亲和数。到1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位。同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数。

　　随着时间的推移，人们靠笔算很难像欧拉那样一下发现众多的亲和数，随着数位越来越大，发现的数也越来越少。此时有数学家推测：若一对亲和数的数值愈大，则这两个数之比愈接近于1，这是否是规律，人们企盼着胜利的喜讯。


看似平凡最崎岖


　　1946年，第一台计算机诞生以来，结束了笔算寻找亲和数的历史。据70年代统计，人们共找到1200多对亲和数，并且，有人还曾有序不漏地用计算机检验与搜寻亲和数，例如近10年来，美国数学家在耶鲁大学先进的计算机上，对所有100万以下的数逐一进行了检验，总共找到了42对亲和数，发现10万以下的仅有13对，部分地消除了对欧拉等人列出的亲和数数表的疑虑。但因计算机功能与数学方法的不够，还没有重大突破，越往下去，难度更大。

　　目前，现在通过已发现10及其以下位数的大量亲和数，其对子总数超过7500个。但是，寻找亲和数还有许多有待探求的问题，如：目前找到的每一对亲和数所含的两个数，总是同时为偶数或同时为奇数，是否存在一个是偶数，而另一个是奇数的亲和数？目前找到的奇亲和数均是3的倍数，这是偶然性，还是必然规律？等等。

　　五千年的人类文明给我们留下了浩瀚无边的知识大海。在汪洋大海中最古老也最深沉的是数。数的理论研究成为科学基础的基础。德国大数学家高斯曾把数的理论置于科学之巅，这一点也不过分。然而，时至今日，这个数的世界仍然是一个充满神秘的威严的“胡夫金字塔”，这里涉及的“亲和数”也是其中一个最富有传奇色彩的世界难题，有许多谜待揭开，谁揭开谜谁就是英雄好汉。

　　上面回顾2000多年数学家的不懈努力，发现了1000对以上的亲和数，“看似平凡最崎岖，成如容易确艰辛”，未来的工作正等待着不畏困苦的数学家与计算机专家，“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。